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半角的正弦、余弦和正切
（课堂教学实录)

广西防城港市上思县上思中学
［教者]王春雷[点评］凌旭球（中学特级教师)

一、教学目标
掌握半角公式及推导方法。
理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。
能熟练、合理地运用公式。

二、重点、难点分析
重点：,，公式的推导、识记及熟练运用。
难点:，公式中双重符号的选择、三个公式的灵活运用。

三、教学用具、准备
电脑和投影设备，自制电脑课件.

四、教学过程设计
（一)复习引入
师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：

（师生合作回答，然后用投影显示）
评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。
下面，我们一起来看一道习题:，求和的值。(投影显示)我们能利用已学的公式来解这道题吗？
生:能，用二倍角公式。
师:那好,下面我们就一起来完成这道题：

（生集体回答,师板书）
评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知,又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。
师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可,不需要考虑值的符号;但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子,这时就需要考虑函数值的符号了。
现在，我们再来看另一道习题,已知：,求的值。（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？
评：用这道习题作引子,并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。
生：不能.
师：但如果我们把看成上题的角，那角就变成了上题的什么角？
生：角。
师：所以，的值是……（稍作停顿）
生:.
师：不错，这就启发我们:如果把二倍角公式中的角换成角，把公式中的角换成角,就得到用单角来表示半角的公式,即“半角公式”.（师板书课题）
评:新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情.
（二)新课讲授
1、公式推导
师:下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式"。先探讨如何将公式变形得出与角的三角函数关系.
生：由，从中解出.
师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出，能否用更简洁的方法来求解呢？
生：可以利用得出，从而
师：(板书）对，但公式中“±”号的确定是关键,是不是两个都要呢？
生：（稍作讨论后回答）不是，应根据角所在的范围中正弦的符号来选取。
师：具体的说,就是角在第一、二象限时取……（稍作停顿）
生:“+"号.
师：当角在第三、四象限时取……(稍作停顿）
生：“—”号。
师:如果没有指明角的范围呢?
生：“±”号都要。
评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下,让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。
师：很好.下面我们接着来研究角的余弦。
生：利用得出,从而。
师：（板书）这里又出现了“±"号，请大家参照刚才的方法总结一下。
生：当角在第一、四象限时取“+"，在第二、三象限时取“-"；如果没有指明角的范围时,“±”号两个都要。
评：有了“半角正弦"的推导作样板，“半角余弦"的导出自然水到渠成。
师：不错.我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式,如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？
生:能。由商数关系得：
评:点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。
师:（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？
生：不能。
师：那么又如何理解结果中的“±"号呢？
生：是分子、分母的“±”号搭配的结果—-当分子、分母同号时取“+"，分子、分母异号时取“-”。
师：由这一搭配的结果,你能根据角所在的范围说出如何选取正切符号吗？
生：能。当角在第一、三象限时取“+"，在第二、四象限时取“—”；当没有指明角的取值范围时，应该同时取“±"号.
师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论）
评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。
师：我们能不能利用乘除符号性质来判断与是同号还是异号呢？
生：能，是同号。
师：那么与呢？
生：也是同号。
师：根据这种思路，下面我们进一步来研究的公式，使它变得更简单,更便于使用。由于，将的分子、分母同时乘以2或2，使变成，那么会得到什么结果呢？
生：
或(师板书)
2、公式识记
师:至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆.（投影显示公式）
=1\＊GB2⑴(）
。=2\*GB2⑵（）
=3\*GB2⑶（）
=4\＊GB2⑷
=5\＊GB2⑸（)’
师:首先明确公式成立的条件，即角的取值范围，先看=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵.
生：公式=1\＊GB2