《2.6.2 求曲线的方程》导学案.doc

《2.6.2求曲线的方程》导学案
学习目标:
1.了解用坐标法研究几何问题的方法,了解解析几何的基本问题.
2.理解曲线的方程､方程的曲线的概念,能根据曲线的已知条件求出曲线的方程,了解两条曲线交点的概念.
3.通过曲线方程概念的教学,培养学生数与形相互联系､对立统一的辩证唯物主义观点.
4.通过求曲线方程的教学,培养学生的转化能力和全面分析问题的能力,帮助学生理解解析几何的思想方法.
5.进一步理解数形结合的思想方法.
学习重点:
熟练掌握求曲线方程的常用方法:定义法､代入法､待定系数法､参数法等,并能灵活应用｡
学习难点:
曲线方程的概念和求曲线方程的方法.
学习过程:
一.新课分析
解析几何主要研究两大类问题:一是根据题设条件,求出表示平面曲线的方程;二是通过方程,研究平面曲线的性质.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时,若能充分挖掘几何关系,则往往可以简化解题过程.
二､典型例题
例1.设动直线垂直于轴,且与椭圆交于两点,P是上满足的点,求点P的轨迹方程｡

O
y
x

B

方法点拨:用直接法:若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程｡经化简所得同解的最简方程,即为所求轨迹方程｡其一般步骤为:建系——设点——列式——代换——化简——检验｡
例2.如图,在中, 平方单位,动点P在曲线E上运动,若曲线E过点C且满足的值为常数｡
(1)求曲线E的方程;
C
(2)设直线的斜率为1,若直线与曲线E有两个不同的交点Q､R,求线段QR的中点M
的轨迹方程｡

A
y
x
O
B

方法点拨:用圆锥曲线的定义求方程｡如果题目中的几何条件能够满足圆､椭圆､双曲线,抛物线的第一､二定义,则直接利用曲线定义写出其轨迹方程｡
例3.如图所示,过椭圆E:上任一点P,作右准线的垂线PH,垂足为H｡延长PH到Q,使HQ=
(1)当P点在E上运动时,求点Q的轨迹G的方程;
(2)当取何值时,轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆?证明这些焦点都在同一个椭圆上,并写出椭圆的方程;
(3)当取何值时,轨迹G是一个圆?判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系｡

方法点拨:求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一｡求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系｡在确定了轨迹方程之后,有时需要对方程中的参数进行讨论,因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线,会使其与其他曲线的位置关系不同,会引起另外某些变量取值范围的变化｡
例4.设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A､B,O是坐标原点,点P满足点N的坐标为,当绕点M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值｡
方法点拨:本题是运用参数法求的轨迹｡当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量,并用表示动点P的坐标,从而得到动点轨迹的参数方程,消去参数,便可得到动点P的轨迹普通方程｡其中应注意方程的等价性,即由的范围确定出范围｡
三､小结:求曲线方程的两类问题:一是动点变动的根本原因,二是动点变动的约束条件;求曲线方程的常用方法:定义法､代入法､待定系数法､参数法等｡
课后题高与练习
1.若点M(x,y)满足,则点M的轨迹是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D抛物线.
2.点M为抛物线上的一个动点,连结原点O与动点M,以OM为边作一个正方形MNPO,则动点P的轨迹方程为()
A.B.C.D.
3.方程化简的结果是()
A.B.C.D.
4.一动圆M与两定圆均外切,则动圆圆心M的轨迹方程是_______________.
5.抛物线关于直线对称的曲线方程是__________.
6.椭圆C与椭圆关于直线对称,椭圆C的方程是()
A.B.
C.D.
7.下列四个命题:
⑴圆关于点A(1,2)对称的曲线方程是;
⑵以点(2,-3)和点(2,1)为焦点的椭圆方程可以是;
⑶顶点在原点,对称轴为坐标轴且过点(―4,―3)的抛物线方程只能是;
⑷双曲线右支上一点P到左准线的距离为18,则P点到右焦点的距离为;
以上正确的命题是_______.(将正确命题的序号都填上)
8.设曲线C:和直线.
⑴记与C的两个交点为A､B,求线段AB中点的轨迹方程;
⑵若线段AB上的点Q满足,求点Q的轨迹方程;
⑶在点Q的轨迹上是否存在点Q0,使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分?证明你的结