《1.3.2函数的极值与导数》同步练习2.doc

《1.3.2函数的极值与导数》同步练习
一､选择题
1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有()

A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:A
2.下列关于函数的极值的说法正确的是()
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析:导数值为0的点不一定是极值点，如y=x3，y′=3x2=0时，x=0不是极值点，所以选项A错；函数的极小值不一定小于它的极大值，如y=eq\f(1,x)，x=-1时，有极大值y=-1，x=1时，有极小值y=1，所以选项B错；函数在定义域内不一定有一个极大值和一个极小值，如y=x3没有极值，所以选项C错；根据极值的定义知选项D正确.
答案:D
3.函数f(x)=x3-3x2+1在x0处取得极小值，则x0=()
A.0B.2C.-2D.3
解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，故当x=2时取得极小值.故选B.
答案:B
4.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
5.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是()
A.(2，3)B.(3，+∞)
C.(2，+∞)D.(-∞，3)
答案:B
二､填空题
6.若函数f(x)=eq\f(x2＋a,x＋1)在x=1处取得极值，则a=______.
解析:f′(x)=eq\f(2xx＋1－x2＋a,x＋12).
∴f′(1)=eq\f(3－a,4)=0得a=3.
答案:3
7.函数y=x3-3x的极大值点是______，极小值点是________，极大值为________，极小值为________.
答案:x=-1x=12-2
8.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________.
解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6有两个不等实根，即Δ=4m2-12×(m+6)>0，解得m>6或m<-3.
答案:(-∞，-3)∪(6，+∞)
三､解答题
9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示.
(1)求x0的值；
解析:由题图，x<1时，f′(x)>0，1<x<2时，f′(x)<0，
∴1是函数f(x)的极大值点，即x0=1.
(2)求a，b，c的值.

解析:由题知，f′(x)=3ax2+2bx+c，则
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f′2＝12a＋4b＋c＝0，,f1＝a＋b＋c＝5，))解得a=2，b=-9，c=12.
10.(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a，b的值；
解析:f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4，f′(0)=4.故b=4，a+b=8.
从而a=4，b=4.
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.
解析:由(1)知，f(x)=4ex(x+1)-x2-4x，
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2))).
令f′(x)=0，得x=-ln2或x=-2.
从而当x∈(-∞，-2)∪(-ln2，+∞)时，f′(x)>0；
当x∈(-2，-ln2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(-∞，-2)和(-ln2，+∞)上单调递增，在(-2，-ln2)上单调递减.
当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为
f(-2)=4(1-e-2).