《1.3.2 利用导数研究函数的极值》同步练习2.doc

《1.3.2利用导数研究函数的极值》同步练习2
1.函数y=2x3-3x2()
A.在x=0处取得极大值0，但无极小值
B.在x=1处取得极小值-1，但无极大值
C.在x=0处取得极大值0，在x=1处取得极小值-1
D.以上都不对
解析:y'=6x(x-1)，令y'=0，得x=0，或x=1.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x(-∞，0)0(0，1)1(1，+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增↗0单调递减↘-1单调递增↗
所以当x=0时有极大值f(0)=0，当x=1时有极小值f(1)=-1.
答案:C
2.若函数f(x)=ax-lnx在x=处取得极值，则实数a的值为()

A. B. C.2 D.
解析:f'(x)=a-，令f'=0，
即a-=0，解得a=.
答案:A

3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)[
解析:由图可得函数y=(1-x)f'(x)的零点为-2，1，2，则当x<1时，1-x>0，此时在(-∞，-2)上f(x)>0，f'(x)>0，在(-2，1)上f(x)<0，f'(x)<0；当x>1时，1-x<0，此时在(1，2)上f(x)>0，f'(x)<0，在(2，+∞)上f(x)<0，f'(x)>0.所以f(x)在(-∞，-2)为增函数，在(-2，2)为减函数，在(2，+∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(-2)，极小值f(2)，故选D.
答案:D
4.三次函数当x=1时，有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数可能是()
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
解析:三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，
∴此函数可设为f(x)=x3+bx2+cx，
则f'(x)=3x2+2bx+c.
由题设知解得
∴f(x)=x3-6x2+9x.
∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
可以验证当x=1时，函数取得极大值4；当x=3时，函数取得极小值0，满足条件.
答案:B
5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则f(2)=()
A.7 B.11 C.18 D.11，18
解析:f'(x)=3x2+2ax+b，依题意有

解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.
但当a=-3，b=3时，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，f(x)在R上单调递增，不可能有极值，应舍去，故只有a=4，b=-11.这时f(x)=x3+4x2-11x+16，f(2)=18.
答案:C
6.已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad=.
解析:∵y'=3-3x2，令y'=0得x=±1，
且当x>1时，y'<0，
当-1≤x≤1时，y'≥0，
当x<-1时，y'<0，
故x=1为y=3x-x3的极大值点，即b=1，
又c=3b-b3=3×1-1=2，∴bc=2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad=bc=2.
答案:2
7.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是.
解析:f'(x)=3x2-3a2，令f'(x)=0即x2-a2=0.
∴x=±a.
∵a>0，∴当x<-a，或x>a时，y'>0；
当-a<x<a时，y'<0.
∴f(-a)=2a3+a是极大值，f(a)=-2a3+a是极小值.
依题意得-2a3+a<0，2a3+a>0，
由a>0得a>.
答案:
8.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是.
解析:∵f'(x)=3x2+6ax+3(a+2)，令3x2+6ax+3(a+2)=0，即x2+2ax+a+2=0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根，即Δ=4a2-4a-8>0，解得a>2，或a<-1.
答案:a>2，或a<-1
9.函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.
(1)求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性.
解:(1)因为f'(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，
又x=-2和x=1为f(x)的极值点，
所以f'(-2)=f'(1)=0.
因此
解方程组得a