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圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
圆的定义及性质：
圆的定义：
⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做
⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合
2、弦与弧:
弦：连接圆上任意两点的叫做弦
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴,的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

垂径定理及推论：
1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量.】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角
2、定理:在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理:在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦)所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是
【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角
有个，是类,它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做,这个圆叫做。
性质:圆内接四边形的对角.
【重点考点例析】
考点一：垂径定理
例1（2015•舟山）如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
A．2B．8 C．2D．2

对应训练
1．（2015•南宁）如图,AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为(）
A．4B．5 C．4 D．3

考点二：圆周角定理
例2（2015•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B(8，0），C（0,6），则⊙A的半径为(）
A．3 B．4 C．5 D．8

对应训练
2．（2015•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°，连接AE,则∠AEB的度数为()
A．36° B．46° C．27° D．63°

7．（2015•威海）如图，CD为⊙O的直径,CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．(1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．

练习：
1．（2015•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°,则∠BOD=80°
．

2．(2015•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB=30°
．
3．（2015•绥化)如图,在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D,若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．

4．（2015•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是48
度．

5．(2015•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为(6,0），⊙P的半径为，则点P的坐标为（3，2)
．

三、解答题
1（2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于⊙O,如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1)四边形EBFD是矩形；
（2)DG=BE．

2、（2015•浙江省台州市，第22题）如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上，EC=BC=DC
（1）若∠CBD=39°,求∠BAD的度数
（2)求证：∠1=∠2

3、是⊙O的一条弦,,垂足为，交⊙O于点，点在⊙O上．
(1)若,求的度数;
E
B
D
C
A
O

(