2014高考题分类大题（导数）.doc

三、解答题
87.【2014·全国卷Ⅰ（理21）】(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为.(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：.
【解析】……5分

……8分

……12分

88.【2014·全国卷Ⅰ（文21）】设函数，曲线处的切线斜率为0
(Ⅰ)求b；
(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范围。
【解析】，
由题设知，解得.……4分
（II）的定义域为，由（1）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
解得.
（ii）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（iii）若，则.
综上，a的取值范围是.
……12分
89.【2014·全国卷Ⅱ（理21）】已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
【解析】
（1）

（2）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.
当b=2时，＞0；＞＞0.6928；
当时，，
=＜0，
＜＜0.6934
所以的近似值为0.693.
90.【2014·全国卷Ⅱ（文21）】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
求；
证明：当时，曲线与直线只有一个交点.
【解析】（I）=，.
曲线在点（0,2）处的切线方程为。
由题设得，所以a=1.
（Ⅱ）由（I）知，
设
由题设知.
当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根。
当时，令，则。
，在单调递减，在单调递增，所以

所以在没有实根.
综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。
91.【2014·全国大纲卷（理22）】（本小题满分12分）函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：.
【解析】（I）的定义域为．
（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．
（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．
（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．
（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．
92.【2014·全国大纲卷（文21）】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
【解析】（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0<a<1,则当x∈（－，x2）或x∈（x1，+）时，，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是增函数；
当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；
（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
93.【2014·山东卷（理20）】设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
【解析】（1），
当时，，
令，得，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）令，则，
令，得。
由于，，

综上知的取值范围是。
94.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数，其中为常数.
（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；
（II）讨论函数的单调性.
【解析】⑴由题意知时，.
此时，可得。
所以在处的切线方程为
⑵函数的定义域为.
。
当，，函数在上单调递增；
当时，令。
由于，
①当时，，，函数在上单调递减；
②当时，，，则，函数在上单调递减；
③当时，，设是函数的两个零点，
则，，
由。
所以时，，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减。
综上所述：
当时，函数在（0，+）上单调递增加；
当时，函数在（0，+）上单调递减；
当时，在,上单调递减，
在上单调递增。
95.【2014·江苏卷（19）】(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:是R上的偶函数；
(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.
【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
（1），，∴是上的偶函数
（2）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立
∵，当且仅当时等号成立
∴
（