复变函数与积分变换.ppt

复变函数与积分变换ComplexFunctionsandIntegralTransformation引言复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。复变函数与积分变换ComplexFunctionsandIntegralTransformation第一章复数与复变函数与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.2)向量表示当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:2.指数形式与三角形式2)显然,r=|z|=1,又§1.2复数的运算加减法与平行四边形
法则的几何意义:等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的两
边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边
的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.例2：设;2.乘方与开方运算2）开方:从而即§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成 z=z1+t(z2-z1).(0t1)解：O§1.4复数域的几何模型---复球面扩充复数域---引进一个“新”的数∞:§1.4区域设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为无界的.设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a<t1<b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.§1.5复变函数在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.设函数w=z=x–iy;u=x,v=-y设函数w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,
有u=x2-y2,v=2xy函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy
把z平面上的两族双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映
射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2.如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.例题2§1.6复变函数的极限和连续性几何意义:等价定义：当z0时的极限不存在2.函数的连续性定义(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模例2讨论