江苏省扬州市扬州中学2014-2015学年高三数学下学期开学考试试题苏教版.doc

PAGE-15-

江苏省扬州中学2014～2015学年第二学期开学检测
高三数学卷
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．已知集合，，则▲．
2．复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为▲．
（第3题图）
结束

开始
输出S
Y

N

3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的▲．
4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小
于9的概率是▲．
5．已知样本的平均数是5,则此样本的方差为▲．
6．已知函数的最小正周期为π，则f(x)
在上的单调递增区间为，，则实数▲．
7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为，，则的值是▲．
8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等
于▲．
9．已知，则的最小值为▲．
10．在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)在点
处的切线与直线垂直，则的值为▲．
11．设等差数列的前项和为，且满足（）则=___▲___．
12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程恰有10个不同实数解，则的取值范围为___▲．
13．在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点
，且，则的取值范围是▲．
14．已知三个正数满足，，则的最小值
是▲．
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（本小题满分14分）
设平面向量＝，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求函数的最大值，并求出相应的值．

16（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.
求证：(1)平面；
(2)∥平面.

17（本小题满分14分）
如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点.设的斜率为，直线斜率为，求的值.

18（本小题满分16分）
在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B．现测得千米，（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设．
（1）试将分别表示为、的函数关系式、；
（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置．

19（本小题满分16分）
已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”．
（1）若数列的“生成数列”是，求；
（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；
（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．
探究：数列是否为等比数列，并说明理由．

20（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）记,求在的最大值；
（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）讨论函数的单调区间（用表示单调区间）．

高三第二学期期初联考数学附加题
(考试时间：30分钟总分：40分)
21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．
A．（本小题满分10分，几何证明选讲）
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：AD·DE＝2PB2.

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）
设矩阵，，若，求矩阵M的特征值．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．

D．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值.

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分)
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝1，AD＝，E为线段PD上一点，记．当时，二面角的平面角的余弦值为．
（1）求AB的长；
（2）当时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值．

23.（本小题满分10分)
已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值．

高三第二学期期初联考数学参考答案
一、填空题
1．；2．4；3．9；4．；5．2；
6．；7．；8