山东省冠县武训高级中学高二数学 8.doc

8.5抛物线及其标准方程

本章主要内容
8.5抛物线及其标准方程
课本至
本讲主要内容
抛物线的定义
抛物线的标准方程
抛物线定义的运用
运用待定系数法求抛物线方程
三、学习指导
1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。
2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有：
（1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。
（2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的1/4值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。
3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个p，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。
4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。课本P.117例2是一道重要、典型的例题，同学们应仔细体会转化的思想。
四、典型例题
例1、互相垂直的两直线1、2交于点M，点N∈1，以A、B为端点的弧上任一点到2的距离与到点N的距离相等，若△AMN是锐角三角形，|AM|=，|AN|=3,|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线弧C的方程。
解题思路分析：
因弧C上任意一点到直线2的距离与到点N距离相等，根据抛物线定义可知，AB是抛物线的一段弧，N为焦点，2为准线。
以1为x轴，MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为y2=2px（p>0），弧C方程为y2=2px，xA≤x≤xB，直线2：。
过A作AA1⊥2，A1为垂足，则|AA1|=|AN|=3
∵|AM|=
∴|A1M|=
即yA=
∴①
又|AA1|=②
由①②得或
因△AMN为锐角三角形，而当xA=2，p=2时，N（1，0），A在x轴上的射影在N右侧，△AMN为钝角三角形，故舍去。
∵|BN|=xB+
∴xB=4
∴曲线弧C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）
注：本题也可以以1、2所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，不过曲线弧C所在抛物线方程不是标准方程。
例2、抛物线拱桥如图，水面宽|AB|=2a时，拱顶离水面h，一货船在水面上部分的横截面是矩形CDEG。
若矩形长|CD|为a，则高|DE|为何值时船才能通过；
（2）求矩形面积S的临界值M，使当S≤M时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当S>M时，无论怎样调整，船都不能过桥。
解题思路分析：
这是一个实际问题，为了精确地求出|DE|，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。
（1）如图建立坐标系xOy，|DE|最大值为E在抛物线上，当船高小于|DE|最大值时，货船可以通过。由抛物线的对称性知，xD=xE=,因D到x轴距离为h，故欲求|ED|，只需求E到x轴的距离，即E点纵坐标的绝对值。
设抛物线方程为x2=-2py（p>0）
∵B（a，-h）在抛物线上
∴a2=2ph
∴2p=
∴抛物线方程为x2=
令x=
则y=
∴yE=
∴|DE|=h-|yE|=h-
∴高|DE|≤时，船能通过
本小题即为求内含矩形CDEG的最大值。建立目标函数，用基本不等式求解。
设E（x0，y0），则
∴S=2x0(y0+h)=2x0(
≤
≤
当且仅当2x02=a2-x02，x0=时，Smax=
∴M=
注：解应用型问题，首先要读懂题意，如本题“船能通过”的含义，然后在正确翻译为数学语言的基础上，建立数学模型。象本题的函数，再用相关数学知识求解。
例3、抛物线P过点A（m，6），B（，m），求p的标准方程。
解题思路分析：
首先应确定点A、B所在象限，由此定抛物线的标准方程类型。象限的区分通过点A、B的坐标符号来讨论。
当m>0时，A、B均在第一象限；
设p：y2=2px（P>0），则
∴
∴p：y2=18x
设P：x2=2py（p>0)，则
∴p：
当m<0时，点A在第二象限，点B在第四象限，抛物线p的标准方程不存在。
注：含字母问题应从分类讨论的思想着手，找到解题突破口。
例4、已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，-4）到焦点F的距离为S，求抛物线的方程和a的值。
解题思路分析：
不妨设抛物线方程为x2=2my（m≠0）
∵M在抛物线上
∴m<0，准线方程y=
∵|MF|=5
∴曲定义，M到准线的距离：
∴m=-2
∴抛物线方程x2=-4y
令y=4，x2=16
∴x=±4
∴a=±4
注：本题利用定义将|MF|转化为到准线的距离，降低了计算量。
例5、椭圆(x-3)2+y2=9外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方