山东省冠县武训高级中学高二数学 8.doc

8.3双曲线及其标准方程

本章主要内容
8.3双曲线及其标准方程
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本讲主要内容
双曲线的定义
双曲线的标准方程
学习指导
1、双曲线的定义用集合表示为{P|||PF1|-|PF2||=2a，2a>0，F1、F2是定点，2a<|F1F2|}。
当2a=|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线（线段F1F2的反向延长线）。
当2a<|F1F2|时，平面上的点P不存在。
称F1、F2为双曲线的焦点，线段F1F2的长度为焦距，用2c表示。
2、焦点在x轴上的双曲线，其标准方程为（a>0，b>0）。若记左焦点为F1（-c，0），右焦点为F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线右支上；|PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的左支上。
焦点在y轴上的双曲线，其标准方程为（a>0，b>0），若记下焦点为F1（-c，0），上焦点为F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线的上支上；|PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的下支上。
三个正实数a，b，c恒满足c2=a2+b2，应将它们的关系与椭圆相区别，椭圆中a2=b2+c2，a>b，a>c，b与c无大小关系；双曲线中，c>a，c>b，a与b无大小关系。
3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：（1）选标准。判断焦点在哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定义法。
四、典型例题
就实数k的取值范围，讨论方程表示的曲线。
解题思路分析：
关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采用分类讨论的思想方法。
当，3<k<6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当，6<k<9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当，k=6时，方程表示圆心在原点，半径为6的圆。
当，k<3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当，k>9时，方程表示焦点在y轴上的双曲线。
注：在判断方程表示的曲线时，应至少交代焦点的位置特征，在方程表示椭圆时，还应注意圆的情形是否存在。
求过点E（5，0）且与圆F：(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心P轨迹。
解题思路分析：
运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。
设动圆圆心为r，则
由E在圆P上知，|PE|=r
由圆P与圆F外切知，|PF|=r+6
消去参数r得：|PF|-|PE|=6
∴点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。
∴2a=b，a=3
又c=5
∴b=4
∴所求双曲线的轨迹方程为（x≥3），轨迹为该双曲线的右支。
注：利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点P轨迹方程，免去了很多繁琐的方程化简过程，希望同学们引起重视。
双曲线定义中的距离差含有绝对符号，本题没有，因此只表示双曲线的一支。
例3、已知椭圆（m>n>0）和双曲线（s>0，t>0）有相同的焦点F1、F2，P是两条双曲线的一个交点，求|PF1||PF2|的值。
解题思路分析：
当题设涉及到焦点的距离时，一般考虑用定义解题，避免用两点间距离公式，增加计算的复杂程度。
当P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=……①
当点P在双曲线上，||PF1|-|PF2||=……②
①、②两式分别平方得：

两式相减得：
4|PF1||PF2|=4(m-s)
∴|PF1||PF2|=m-s
注：从计算的角度看，本题涉及到整体运算的思想，把|PF1|·|PF2|作为一个变量。
例4、焦点在x轴上的双曲线过点P（，-3），且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程。
解题思路分析：
用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。
∵两焦点F1、F2关于y轴对称，点Q在y轴上
∴△QF1F2为等腰直角三角形
∴c=|OF1|=|OF2|=|QA|（O为坐标原点）
∴c=5
设双曲线方程
则
∴
去分母，整理得
a4-66a2+800=0
∴a2=16，或a2=50（舍）
∴b2=9
∴所求双曲线的标准方程为
例5、若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的直线互相垂直，求点P坐标。
解题思路分析：
法一：不妨设F1（0，-），F2（0，），P（x0，y0），则

解之得：
∴点P坐标为
法二：用轨迹的思想解题
因点P对定线段F1、F2张角等于900
故点P在圆x2+y2=2上
又点P在双曲线y2-x2=1上
∴点P坐标为方程组的解
解此方程组：，，下略

五、同步练习
选择题
1、双曲线的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为
A、17B、7C、7或17D、2或22
2、在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是
A、焦点在x轴上的椭圆B、焦点在x轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的双曲线D、焦点