山东省冠县武训高级中学高二数学 8.doc

1椭圆及其标准方程

一、本章主要内容
1椭圆及其标准方程
课本至
本讲主要内容
椭圆的定义及运用；
用待定系数法求椭圆标准方程。
二、学习指导
1、椭圆的定义用集合表示为{P||PF1|+|PF2|=2a，其中F1、F2是两个定点，2a为定值，2a>|F1F2|}
当2a=|F1F2|时，点P的轨迹为线段F1F2
当2a<|F1F2|时，点P不存在
椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。
课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。字母运算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。
2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。
当焦点在x轴上时，方程类型为
当焦点在y轴上时，方程类型为=1
恒有a>b>0。字母x通常写在前面。
为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax2+By2=1（A>0，B>0)等。
求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为：
选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能；
定参数，通过解方程组的思想求得a2，b2，或c2，a2=b2+c2。
实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。
四、典型例题
例1、椭圆焦距|F1F2|=4，点P在椭圆上，∠F1PF2=，若△F1PF2的面积S=，求椭圆的标准方程。
解题思路分析：
因△F1PF2的面积可通过S=
及S=两种方式转化，故本题有两种解题途径。
思路一：如图，建立坐标系，则F1(-7，0)，F2(7，0)，不妨设P(x0，y0)，（x0>0，y0>0）
∵
∴
又，
直线PF1到直线PF2的角为
∴
∴
∴
∵P在椭圆上
∴
∴……①
又a2-b2=c2=49……②
①②联立，解得a2=62，b2=13
∴所求椭圆方程为
当F1，F2在y轴上时，椭圆方程为
思路二：不防设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则

∴r1r2=52
在△F1PF2中
|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos
∴|F1F2|2=(r1+r2)2-r1r2
∴142=(2a)2-52
∴a2=62
∴b2=a2-c2=13
当焦点在x轴上时，椭圆方程为
当焦点在y轴上时，椭圆方程为
注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，△PF1F2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r1+r2，求得r1+r2，即求得2a；对条件r1r2的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。
例2、定点A（-1，1），B（1，0），点P在椭圆上运动，求|PA|+|PB|的最值。
解题思路分析：
B为右焦点
若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通
考虑用平面几何知识求解
解题的突破口是用定义转化|PB|
设左焦点为B1（-1，0），则|PB|=2a-|PB1|=4-|PB1|
∴|PA|+|PB|=4+|PA|-|PB1|
∵|PA|-PB1|≤|AB1|
当且仅当P、A、B1三点共线时，等号成立
∴连AB1，延长交椭圆于P1，则|P1A|-|P1B1|=|AB1|
∴当P在P1时(|PA|-|PB1|)max=|AB1|=1
∴(|PA|+|PB|)max=5，此时P1（-1，）
又|PA|+|PB|=4+|PA-|PB1|=4-（|PB1|-|PA|）
∴当|PB1|-|PA|最大时，|PA|+|PB|最小
同刚才理由，延长B1、A交椭圆于P2
则|PB1|-|PA|≤|AB1|=|P2B1|-|P2A|=1
∴(|PA|+|PB|)min=3，此时P2（-1，）
注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下，|PB1|-|PA|<|AB1|。当|AB1|为常数，且严格不等号能取得等号时，|AB1|为|PB1|-|PA|的最大值。这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找等号成立的条件。
例3、已知△ABC的三边a>b>c，且a、b、c成等差数列，A、C坐标分别为（-1，0）和（1，0），求顶点B的轨迹。
解题思路分析：
∵a、b、c成等差数列
∴a+c=2b
即|BC|+|BA|=2|AC|=4
∵A、C为定点，4>|AC|>2
∴由椭圆定义知，点B轨迹是以A、C为焦点的椭圆，其方程为
根据题设，需检查完备性
∵a>b>c
∴|BC|>|BA|
∴点B在y轴右侧
又ABC构成三