山东省冠县武训高级中学高二数学 7.doc

7.1直线的倾斜角和斜率
一、本讲进度
7.1直线的倾斜角和斜率
课本至
二、本讲主要内容
初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念；
掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。
三、学习指导
1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支——《平面解析几何》。它的研究对象是平面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。
通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素——点与实数集中——对有序实数对（x，y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如，直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语言可叙述为：
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为“直线的方程”，这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系，所以可简说成“直线y=kx+b”。
上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：①点直线上坐标满足方程；②有序数对是方程的解点在线上。
2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：①建立坐标系；②设出必需的点的坐标；③代数运算得到问题的代数解；④代数解回到几何解。
在用代数方法求解过程中，除未知数x、y及已知量外，有时还需引入适当参数。
倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。
已知倾斜角为α，求斜率k时
α0（0，）（）k0（0，+∞）不存在（-∞，0）（2）已知斜率k，求倾斜角α时
法一：k≥0时，α=arctank
k<0时，α=π+arctank
法二：k=0时，α=0
k≠0时，α=arccot
4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识的复习及运用。由教材P36方向向量的定义，的方向向量为λ（λ∈R），其中一个特殊的方向向量为（1，k），k为直线P1P2斜率，它在后面研究直线位置关系时仍会用到。
四、典型例题
例1、试用解析法证明：△ABC中，M为BC中点，则AB2+AC2=2(AM2+MC)2。
解题思路分析：
第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上，或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也可以把点M作为原点，BC所在直线为x轴等。
第二步是设出必要的已知量。本题△ABC确定，可设B（0，0），C（a，0），A(b，c)，同时确定与已知量相关的量，如本题M(，0)。
第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。
|AB|2=b2+c2，|AC|2=(b-a)2+c2
∴|AB|2+|AC|2=a2+2b2+2C2-2ab
|AN|2=(b-)2+c2，|MC|2=(a-)2=
∴2(|AM|2+|MC|2)=2(b2+c2+)=a2+2b2+2c2-2ab
∴|AB|2+|AC|2=2(|AM|2+|MC|2)
最后写出原命题需证的结论：
AB2+AC2=2（AM2+MC2）
注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请同学们思考。
例2、已知M(-4，2)，N(2，15)，若直线的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线斜率。
解题思路分析：
思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出MN的倾斜角，再求的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。
设直线MN倾斜角为α，则tanα==2
∵tanα>0
∴α∈（0，）
∴sinα=，cosα=
则直线α倾斜角为
∴tan
∴
思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线α倾斜角为α，则直线MN倾斜角为2α。下找关于tanα的等量关系。
∵tan2α=kMN=2
∴=2
∴tanα+tanα-1=0
∴tanα=
∵2α∈[0，π）
∴α∈[0，
∴tanα=
例3、已知P（3，-1），M（6，2），N（-），直线过点P，求满足下列条件的的倾斜角范围。
直线与线段MN相交；
直线与线段MN的延长线（或反向延长线）相交；
解题思路分析：
可首先求出直线的斜率范围，画出示意图帮助分析。
考虑临界状态：
kPN=1，kPM=-
（1）1≤k≤-，即1≤tan≤-
tan