山东省冠县武训高级中学高二数学 7.doc

7.4简单的线性规划
一、本讲进度
7.4简单的线性规划
研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
课本至67页
二、本讲主要内容
1、二元一次不等式的几何意义；
2、图解法解决两个变量的线性规划问题的一般步骤；
3、线性规划在实际生活中的运用
三、学习指导
1、在直线（形）与二元一次方程（数）对应的基础上，本节进一步研究区域（形）与二元一次不等式（数）之间的对应关系。
利用函数值的大小关系，可得到如下结论：
从形到数
当直线用斜截式表示时，设点P（x0，y0），直线：y=kx+b
上方y0>kx0+b
P在直线上y0=kx0+b
下方y0<kx0+b
当直线用一般式表示时，设直线：Ax+By+C=0（B>0）
上方Ax0+By0+C>0
P在直线上Ax0+By0+C=0
下方Ax0+By0+C<0
从数到形
>直线上方区域
y=kx+b直线上的点
<直线下方区域
设B>0，则
>直线上方区域
Ax+By+C=0直线上的点
<直线下方区域
当B<0时，可用转化思想化简。其规律是当B的符号与不等号同向时，以不等式的解为坐标的点在直线上方区域；当B的符号与不等号异向时，以不等式的解为坐标的点在直线下方区域。
2、平面区域的画法：第一步，画出边界线，Ax+By+C=0，注意，若二元一次不等式是严格不等号，则边界线画成虚线；否则画成实线。第二步，取特殊点判断，当C≠0时，取原点（0，0）。第三步，用斜线表示满足不等式的区域。
3、二元一次不等式组的几何意义是不等式组中每个不等式表示的平面区域的公共部分。
当直线的方程Ax+By+C=0中出现A或B为零时，作出边界线，直线利用实数大小关系判断。例如在不等式Ax+By+C>0中：
当A=0时：若B>0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0上方区域；若B<0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0下方区域；
当B=0时，若A>0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0右侧区域；若A<0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0左侧区域。
4、所谓线性规划就是研究线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。
（1）二元线性规划的图解法实质上就是数形结合思想中的以形助数的体现。因为线性约束条件是不等式组，故通过函数单调性及基本不等式等数的方法无法解决此二元函数的最值问题。而线性约束条件（二元一次不等式组）及目标函数（借助于函数与方程的思想，可看成方程）均有明显的几何意义，所以考虑用形的方法解决这个代数问题。
（2）图解法的一般步骤是：①在正确理解题设中量与量的关系基础上，设二元变量，列约束条件，这个约束条件既包括显性的，又包括隐性的（如实际问题特征等）；②作出可行域，注意边界的虚实线情况，可行域可能是封闭的，又可能是开放的；③建立目标函数，转化为方程，该方程的几何意义是平行直线系，目标函数通常与直线系在纵轴上的截距有关；④平移直线找最优解，最优解通常在区域的顶点处取到。当自变量要求是整数时，一般应慎重考虑；⑤得到实际问题的结论。
图解法只能解决二元函数的问题。
（4）图解法中在平移直线的过程中，直线的斜率是个非常重要的参数，其倾斜角程度直接影响到问题的最后结论。
四、典型例题
x-y+3≥0
x+y-5≤0
已知线性约束条件2x-y-4≤0
x≥0
y≥0
求目标函数z=x+2y的最大值
解题思路分析：
第一步，作出可行域，它应该是每个二元一次不等式所表示区域的公共部分。如图为五边形OABCD，边界均为实线。
第二步，利用函数与方程的思想，将z=x+2y看成是关于x、y的二元一次方程（对原来目标函数z而言，这是一种间接法的思想，先将z看成是已知量），其几何意义表示一条直线。因直线方程中最具有几何意义的是斜截式，故整理方程为y=，具体来说，它表示的是与直线y=平行的直线系，表示直线系在纵轴上的截距。
第三步，平移此直线系，注意到此直线斜率比直线BC斜率大，故直线的倾斜角大于直线BC的倾斜角，所以当直线通过顶点C时，y轴上截得的截距最大。
由得
∴C（1，4）
将C（1，4）代入y=得z=9
第四步得到原问题的结论，目标函数z=x+2y的最大值为9。
例2、在直角坐标系中画出不等式|x|+|y|>|x+y|表示的区域。
解题思路分析：
因|x|+|y|≥|x+y|对一切实数x、y恒成立，故去掉等号成立的条件即可。
等号成立的条件为x与y同号或x、y中至少有一个为零。
当x与y同号时，点（x，y）分布在第一或第三象限；当x·y=0时，点(x，y)在（第二或四象限）坐标轴上。故满足题设不等式的点在第二或四象限。
例3、求设下列两个不等式同时成立的点（x，y）存在的区域的面积：（1）|y|≤2；（2）4x2+4xy+y2+4x+2y-3≤