苏教版高中数学选修2-1数系的扩充1.doc

用心爱心专心

数系的扩充
教学目标
（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
教学过程
一．问题情境
1．情境：
1)数的概念的发展
从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．
①解决实际问题的需要．
由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．
②解方程的需要．
为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．
引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）
2．问题：实数集应怎样扩充呢？
二．建构数学
1．为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．
为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：
①；
②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成()的形式．
2．复数概念及复数集
形如()的数叫做复数（）．全体复数构成的集合叫做复数集（），一般用字母来表示，
即．显然有N*NZQRC．
3．复数的有关概念
1)复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部（）与虚部（）；
2）虚数和纯虚数
①复数()，当时，就是实数．
②复数()，当时，叫做虚数（）．
特别的，当，时，叫做纯虚数（）．
3)复数集的分类
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：

4)两复数相等
如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，（复数相等的充要条件），
特别地：（复数为的充要条件）．
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．
5）两个复数不能比较大小：
两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．
三．数学运用
1．例题：
例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．

解：的实部分别是；
虚部分别是．
是实数；是虚数，其中是纯虚数．
例2．实数取什么值时，复数是
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值．
解：（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即时，复数是虚数；
（3）当，且，即时复数是纯虚数．
（变式引申）：已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？
答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件．
例3．已知，求实数的值．
解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：．
（变式引申）：已知，求复数．
解：设，则，
，
由复数相等的条件
．
2．练习：
（1）已知复数，且，则．
解：，则．故虚部
或．但时，，不合题意，故舍去，故．
四．回顾小结：
1．能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；
2．复数相等的充要条件．