高中数学 数系的扩充与复数的引入 数系的扩充同步测试 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题.doc

数系的扩充
一、基础过关
1．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的________条件．
2．若(a－2i)i＝b－i，其中a、b∈R，i为虚数单位，则a2＋b2＝________.
3．以－eq\r(5)＋2i的虚部为实部，以eq\r(5)i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为________．
5．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
二、能力提升
6．若sin2θ－1＋i(eq\r(2)cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为________．
7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝_______，n＝________.
8．给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
则其中正确命题为________．
9．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.
10．实数m分别为何值时，复数z＝eq\f(2m2＋m－3,m＋3)＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

11．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．

12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m的取值范围．

三、探究与拓展
13．如果logeq\f(1,2)(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
答案

1．充分不必要
2．5
3．2－2i
4．1
5．－1
6．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)
7．2±2
8．②
9．－1
10．(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－18＝0,m＋3≠0))，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－3＝0,m＋3≠0,m2－3m－18≠0))，
解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1.
所以当m＝－eq\f(3,2)或m＝1时，z为纯虚数．
11．解∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＝0，,y－2＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝2.))
所以实数x，y的值分别为eq\f(1,2)，2.
12．解由于z1<z2，m∈R，
∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1<z2.
∴z1<z2时，实数m的取值为m＝1.
13．解因为logeq\f(1,2)(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以logeq\f(1,2)(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0， ①,log\f(1,2)m＋n>－1， ②))
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1.