苏教版高中数学选修2-1数系的扩充2.doc

用心爱心专心

数系的扩充
教学目标
（1）了解数的概念发展的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
教学过程
一．问题情境
1．情境：
1)数的概念的发展
从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．
①解决实际问题的需要．
由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值(如正方形对角线的长度与边长的比值)的需要产生了无理数(既无限不循环小数)．
②解方程的需要．
为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．
引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．
2．问题：实数集应怎样扩充呢？
二．建构数学
1．为了使方程在实数范围内有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”-----虚数单位开始。
2．对虚数单位，作如下规定：
①；
②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘运算律仍然成立．
在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成()的形式．
3．复数概念及复数集
形如()的数叫做复数．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母来表示．
4．复数的有关概念
1)复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部与虚部；
2）虚数和纯虚数
①复数()，当时，就是实数．
②复数()，当时就是虚数．
③复数()，当，时就叫做纯虚数．
3)复数集的分类
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：

4)两复数相等
如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，特别地：
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．
5）两个复数不能比较大小：两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
三．数学运用
1．例题：
例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数。

解：略
例2．实数取什么值时，复数是
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
解：（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即时，复数是虚数；
（3）当，且，即时复数是纯虚数。
思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？
例3．已知，求实数的值。
解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：
四．回顾小结：
1．复数的有关概念；
2．复数相等的充要条件；