2010高考数学《数列》专题学案：等差数列 新人教A版.doc

第2课时等差数列
基础过关

1．等差数列的定义：－＝d（d为常数）．
2．等差数列的通项公式：
⑴an＝a1＋×d
⑵an＝am＋×d
3．等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：
⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p,q∈R)
⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn
(a,b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：
⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．
⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．
典型例题

例1.在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
解：(1)方法一：
∴a60＝a1＋59d＝130．
方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．
(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，
∴
∴Sn＝2n2－17n
∴S28＝2×282－17×28＝1092
(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，
又S6＝
∴15＝即a1＝－5
而d＝
∴a8＝a6＋2d＝16
S8＝
变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．
解：∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10＝
例2.已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴求证：数列{bn}是等差数列．
⑵求数列{an}的通项公式．
解：∵⑴an＝2a－(n≥2)
∴bn＝(n≥2)
∴bn－bn－1＝(n≥2)
∴数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵∵b1＝＝
故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝
即：＝得：an＝a(1＋)
变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，
（1）判断是何种数列，并给出证明；
（2）若，求数列的前n项和
解：1），即为等差数列。
（2）。
例3.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．
解：设{an}首项为a1公差为d，由

∴Sn＝
∴∴Tn＝
变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（）
A．B．C．D．
解：B解析：。
例4.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
解：⑴设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n
＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n
＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n
解得：n>2
∴从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000
S2＝300×10×21＝63000
∴S2－S1＝8000
∴在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶若第二种方案中的300美元改成a美元．
则＝an(2n＋1)n∈N*
∴a＞＝250＋≥250＋
＝
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.