实数与数轴教材重难点研习.doc

实数与数轴教材重难点研习
安徽李庆社

1、实数的概念
有理数由整数和分数组成.下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示.如3=3.0，－＝－0.6，＝0.81818181…，但是，是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢？
答案是否定的，我们来看这样一组数：

我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．
定义：无限不循环小数叫做无理数．
实数：有理数和无理数称为实数.
【推广引申】实数是在有理数的基础上中以扩充的，定义了无理数之后，有理数和无理数统称为实数.这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了．从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要有数的范围的概念．对于不同数的范围，可能结果是不相同的．
典例1下列说法是否正确？为什么？
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）有理数都是有限小数；
（4）不带根号的数都是有理数；
【解析】（1）不正确，因为只有无限不循环小数方是无理数，而无限循环小数是有理数，如0.333…＝0.＝是有理数；（2）正确，因为无理数是无限不循环小数；
（3）不正确，因为无限循环小数是有理数，因此有理数不一定是有限小数，如＝0.333…；（4）不正确，如不带号，但是无理数.
2、实数的分类
对于实数，我们可按定义分类如下：

由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：
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【梳理总结】由于分类的标准不同，实数分类的方法可以有多种.在这里主要介绍了两种分类方法：一种是按有理数和无理数分类；一种是按实数的大小分类.无论采取哪种分类方法，关键是不重不漏.进行分类的原则：一是要选定一个属性为标准，选择的标准不同，分类的结果也不同，但每次分类不能同时选用两个以上的不同属性作标准；二是不越级进行分类，就是说分类的结果应该是它的邻近的种类概念，而不能越级，如把实数分为整数、分数和无理数，就是越过了“有理数”这一级，这是不正确的.正确的科学分类经常采用二分法，即在每一次分类时，将被分类的所属概念以某一属性为标准，分成且仅分成互不相容的两个矛盾关系的两种概念，并且逐级地这个分下去.二分法不仅是全面地、系统地掌握要领的重要的分类方法，而且也是系统地分析问题和解决问题的有力方法.
典例2把下列各数写入相应的集合中：

【解析】
3、实数的性质及其运算
（1）实数的相反数：如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a互为相反数，0的相反数依然是0．
由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此，绝对值的定义也是如此．
（2）实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为：

（3）实数的运算：
关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立．在实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算．运算顺序依然是从高级到低级．值得注意的是在进行开方运算时，正实数和零可开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方．
【类比扩展】强调指出：有理数的运算律和运算性质再实数范围内仍成立,这是中学数学的基础.
典例3

(3)若｜x｜=π，求x值．

【解析】

4、数轴的概念
（1）定义：我们把规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．其中原点、正方向和单位长度称为数轴三要素.
（2）数轴的画法
与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下：
①画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；
②规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；
③选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…
【交流研讨】1、数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可.
2、实数和数轴上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．
典例4下面哪些是数轴，哪些不是数轴？为什么？

（1）（2）
（3）
【解析】注意从数轴的“三要素”进行判断：（1)没有方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统一.