实数与数轴教材重难点研习.doc

4实数与数轴教材重难点研习安徽李庆社1、实数的概念有理数由整数和分数组成.下面我们用小数的观点来看整数可以看做是小数点后面是0的小数如3可写做3.0、3.00；而分数我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示.如3=3.0－＝－0.6＝0.81818181…但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢？答案是否定的我们来看这样一组数：我们会发现这些数的小数位数是无限的而且是不循环的这样的小数叫做无限不循环小数显然它不属于有理数的范围．定义：无限不循环小数叫做无理数．实数：有理数和无理数称为实数.【推广引申】实数是在有理数的基础上中以扩充的定义了无理数之后有理数和无理数统称为实数.这样一来我们今后研究问题的数的范围更广泛了我们所研究的问题也就会更广、更深了．从现在起在考虑某些数学问题时一定要有数的范围的概念．对于不同数的范围可能结果是不相同的．典例1下列说法是否正确？为什么？（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）有理数都是有限小数；（4）不带根号的数都是有理数；【解析】（1）不正确因为只有无限不循环小数方是无理数而无限循环小数是有理数如0.333…＝0.＝是有理数；（2）正确因为无理数是无限不循环小数；（3）不正确因为无限循环小数是有理数因此有理数不一定是有限小数如＝0.333…；（4）不正确如不带号但是无理数.2、实数的分类对于实数我们可按定义分类如下：由上述分类我们发现有理数和无理数都有正负之分所以对实数我们还可以按大小分类如下：.【梳理总结】由于分类的标准不同实数分类的方法可以有多种.在这里主要介绍了两种分类方法：一种是按有理数和无理数分类；一种是按实数的大小分类.无论采取哪种分类方法关键是不重不漏.进行分类的原则：一是要选定一个属性为标准选择的标准不同分类的结果也不同但每次分类不能同时选用两个以上的不同属性作标准；二是不越级进行分类就是说分类的结果应该是它的邻近的种类概念而不能越级如把实数分为整数、分数和无理数就是越过了“有理数”这一级这是不正确的.正确的科学分类经常采用二分法即在每一次分类时将被分类的所属概念以某一属性为标准分成且仅分成互不相容的两个矛盾关系的两种概念并且逐级地这个分下去.二分法不仅是全面地、系统地掌握要领的重要的分类方法而且也是系统地分析问题和解决问题的有力方法.典例2把下列各数写入相应的集合中：【解析】3、实数的性质及其运算（1）实数的相反数：如果a表示一个正实数那么-a就表示一个负实数a与-a互为相反数0的相反数依然是0．由上述定义我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此绝对值的定义也是如此．（2）实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为：（3）实数的运算：关于有理数的运算律和运算性质在进行实数运算时仍然成立．在实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算．运算顺序依然是从高级到低级．值得注意的是在进行开方运算时正实数和零可开任何次方负数能开奇次方但不能开偶次方．【类比扩展】强调指出：有理数的运算律和运算性质再实数范围内仍成立这是中学数学的基础.典例3(3)若｜x｜=π求x值．【解析】4、数轴的概念（1）定义：我们把规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．其中原点、正方向和单位长度称为数轴三要素.（2）数轴的画法与温度计类似我们也可以在一条直线上画出刻度标上读数用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下：①画一条水平的直线在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置如果所需的都是正数也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；②规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正0℃以下为负)；③选取适当的长度作为单位长度在直线上从原点向右每隔一个长度单位取一点依次表示为123…从原点向左每隔一个长度单位取一点依次表示为-1-2-3…【交流研讨】1、数轴的三要素——原点、正方向和单位长度缺一不可.2、实数和数轴上的点建立了对应关系它揭示了数和形之间的内在联系为我们研究问题提供了新的方法．典例4下面哪些是数轴哪些不是数轴？为什么？（1）（2）（3）【解析】注意从数轴的“三要素”进行判断：（1)没有方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统一.