巧构全等妙证题.doc

巧构全等妙证题
安徽李庆社

全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，在几何证题中有着广泛的应用．下面举例说明其具体应用．
一、证线段相等
例1如图1，正方形ABCD的边BC，CD上取E，F两点，使，于G．
B
F
E
图1
C
D
A
G
H
求证：．
证明：将以A点为原点逆时针旋转90°，
得到．可证．
由此可知．
二、证角相等
例2如图2，在中，，P是三角形内任意一点，
A
P
C
图2
B

．
求证：．
证明：作，取，
连接，可证，
从而可证，
于是．
例1、例2是用旋转变换构造出全等三角形，使已知条件与未知条件
建立联系，证明途径易于发现．对具有等边特征的图形，一般可考虑用旋转法迁移线段或角的位置．
A
P
C
图3
B
D
三、证线段不等
例3如图3，设P为三角形ABC内一点，且．
求证：．
证明：作的平分线交AB于D，连结DP，
可证，于是．
在中，有，即
，
∴．
四、证角不等
A
E
C
图4
B
D
1
2
4
3
例4如图4，已知中，，AD是BC边上的中线．
求证：∠1＜∠2．
证明：延长AD至E，使，可证，于是
．
在中，
∵，
∴，
∴∠1＜∠E，
A
B
F
图5
G
E
D
C
即∠1＜∠2，
本题是用旋转法将△ACD转到△EBD的位置，使要比较大小的∠1、∠2（即∠E）处在同一个三角形中．
五、证线段的和差倍分
例5如图5，已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，并且．
求证：．
证明：作，AG与CB的延长线交于点G．可证
，进而可证，又，
∴，
∴，
故．
本例用补短法把线段的和差转化为证线段相等，也可以用截长法把线段的和差转化为证线段相等．
例6如图6，中，，E为AB的中点，在AB延长线上取一点D，使．
A
C
D
B
E
1
2
图6
求证：．
证明：取CD的中点F，连结BF，可证出．
∴．
F
，
，故．
本例用折半法证明线段的倍分问题，也可以用加倍法证明线段的倍分问题．
六、证角的和差倍分
例7如图7，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，F是CE的中点．
求证：．
证明：取BC的中点G，连接AG并延长交DC的延长线于H点．设正方形的边长为a，则可证
．
A
B
E
H
D
C
图7
F
G
1
2
3
4
5
∴，
∴．
在中，由勾股定理，
∴．
∴∠3=∠H，
∴∠1=∠3，在和中，
∵，
∴，
∴∠1=∠2，
∴．
七、证两直线垂直
例8如图8，已知梯形ABCD中，，M为腰AD上的一点，若，MC平分．
求证：．
证明：延长BA至E，使，连接CE交DA于．可证．
A
B
C
D
E
M

图8
∴．
∵，
∴．
即，
在等腰三角形BCE中，，
∴．
又由于．
∴．
即是的平分线．因此与M重合．故．
八、证两直线平行
B
C
D
A
4
1
2
3
图9
例9已知如图9，，
求证：．
证明：连结BD．在和中，
∵，
，
∴，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴．