（整理版）巧构距离妙解题.doc

巧构距离妙解题有些数学问题，假设用常规方法求解，往往过程繁杂，难度较大，但假设能抓住其结构特征，通过构造点到直线的距离求解，那么能避繁就简，出奇制胜．证明等式例1假设，且．求证：．证明：由条件可知，点在直线上，原点到直线的距离不大于，即，整理，得，即．证明不等式例2求证：．分析：此题证法很多，可利用函数、平面几何等方法．然而用解析几何知识，通过构造点到直线的距离及两点间的距离证明既直观又巧妙．证明：设直线，那么原点与直线上任一点的距离为．由垂线段最短知，此距离不小于原点到直线的距离，即．又，．．求函数最值例3满足，求的最小值．分析：此题是求二元函数的最小值问题，可以通过转化，将其化为二次函数来求解，但如果我们运用点到直线的距离，那么可使求解变得更巧妙．解：原式可化为，其几何意义为两点和间距离的平方，而点在直线上．由两点间距离不小于到直线的距离，得，即．的最小值为．求取值范围例4，求的取值范围．解：由，得．令，那么点在直线上．到直线的距离．由，得．，，即．通过以上几何可以看出：在求某些代数问题时，如能联系两点距与点线距的关系，那么会使问题变得直观简捷，不失为一神“巧思妙解〞．