倍长中线--巧构全等.doc

此文件下载后可以自行修改编辑删除方法点击倍长中线巧构全等□山东王勇图1在需要构造全等三角形解题时，我们常常会用到“倍长中线法”，即加倍延长中线，使所延长部分与中线相等.合理运用此法，可以顺利解决与三角形中线相关的边角问题.例1（2017年达州）在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是_____________.分析：可以选择应用“倍长中线法”，如图1，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE.先证明△ADB≌△EDC，得出EC=AB=5，再在△AEC中，应用三角形的三边关系确定出AE的范围，即可求得m的取值范围.解：如图1，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m.因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.在△ADB和△EDC中，AD＝ED，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以△ADB≌△EDC.所以EC=AB=5.由三角形的三边关系，得EC-AC＜AE＜AC+EC，即5-3＜2m＜5+3，解得1＜m＜4.故填1＜m＜4.例2如图2，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证∠C=∠BAE．图2分析：如图2，延长AE到点F，使EF=AE，连接DF，寻找条件证明△ABE≌△FDE，推出∠BAE=∠EFD，∠B=∠EDF，再由外角的性质得出∠ADF=∠ADC，即可证得△ADF≌△ADC，得出∠AFD=∠C，从而推出结论.证明：如图2，延长AE到点F，使EF=AE，连接DF.因为AE是△ABD的中线，所以BE=DE.在△ABE和△FDE中，BE＝DE，∠AEB＝∠FED，AE＝FE，所以△ABE≌△FDE（SAS）.所以AB=DF，∠BAE=∠F.因为∠ADB是△ADC的外角，所以∠DAC+∠C=∠ADB=∠BAD.因为∠BAE+∠EAD=∠BAD，所以∠F+∠EAD=∠DAC+∠C.所以∠ADF=∠ADC.因为AB=DC，所以DF=DC.在△ADF和△ADC中，AD＝AD，∠ADF＝∠ADC，DF＝DC，所以△ADF≌△ADC（SAS）.所以∠C=∠F=∠BAE.图3【牛刀小试】如图3，在△ABC中，BD=AC，∠CAD=∠CDA，E是DC的中点，若∠BAE=80°，则∠BAD的度数为____________.参考答案：40°提示：延长AE到点M，使EM=AE，连接DM.由SAS证明△DEM≌△CEA，得出∠C=∠MDE，DM=AC，推出DM=BD，∠ADM=∠ADB，由SAS证明△ADB≌△ADM，推得∠BAD=∠MAD=40°.