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3巧构全等妙证题安徽李庆社全等三角形是初中几何的重点是研究图形性质的基础在几何证题中有着广泛的应用．下面举例说明其具体应用．一、证线段相等例1如图1正方形ABCD的边BCCD上取EF两点使于G．BFE图1CDAGH求证：．证明：将以A点为原点逆时针旋转90°得到．可证．由此可知．二、证角相等例2如图2在中P是三角形内任意一点APC图2B．求证：．证明：作取连接可证从而可证于是．例1、例2是用旋转变换构造出全等三角形使已知条件与未知条件建立联系证明途径易于发现．对具有等边特征的图形一般可考虑用旋转法迁移线段或角的位置．APC图3BD三、证线段不等例3如图3设P为三角形ABC内一点且．求证：．证明：作的平分线交AB于D连结DP可证于是．在中有即∴．四、证角不等AEC图4BD1243例4如图4已知中AD是BC边上的中线．求证：∠1＜∠2．证明：延长AD至E使可证于是．在中∵∴∴∠1＜∠EABF图5GEDC即∠1＜∠2本题是用旋转法将△ACD转到△EBD的位置使要比较大小的∠1、∠2（即∠E）处在同一个三角形中．五、证线段的和差倍分例5如图5已知点EF分别在正方形ABCD的边BCCD上并且．求证：．证明：作AG与CB的延长线交于点G．可证进而可证又∴∴故．本例用补短法把线段的和差转化为证线段相等也可以用截长法把线段的和差转化为证线段相等．例6如图6中E为AB的中点在AB延长线上取一点D使．ACDBE12图6求证：．证明：取CD的中点F连结BF可证出．∴．F故．本例用折半法证明线段的倍分问题也可以用加倍法证明线段的倍分问题．六、证角的和差倍分例7如图7已知E是正方形ABCD的边CD的中点F是CE的中点．求证：．证明：取BC的中点G连接AG并延长交DC的延长线于H点．设正方形的边长为a则可证．ABEHDC图7FG12345∴∴．在中由勾股定理∴．∴∠3=∠H∴∠1=∠3在和中∵∴∴∠1=∠2∴．七、证两直线垂直例8如图8已知梯形ABCD中M为腰AD上的一点若MC平分．求证：．证明：延长BA至E使连接CE交DA于．可证．ABCDEM图8∴．∵∴．即在等腰三角形BCE中∴．又由于．∴．即是的平分线．因此与M重合．故．八、证两直线平行BCDA4123图9例9已知如图9求证：．证明：连结BD．在和中∵∴∴∠1=∠2∠3=∠4∴．