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含高阶空间导数偏微分方程的局部间断Galerkin方法的综述报告
引言
针对非线性偏微分方程(PDEs)，局部间断Galerkin方法(PDG)是一种高效和实用的数值方法。与其他有限元方法相比，PDG方法在处理高阶空间导数和不光滑解方面的优势显著。本文将重点关注含高阶空间导数偏微分方程的PDG方法，综述其理论、数值实现和应用。
理论基础
PDG方法是一种基于狄利克雷变分原理的离散方法，通过将PDEs转化为变分形式，将连续解空间分割成有限个不相交的局部空间。在每个局部空间内，采用不同的高斯积分公式进行数值积分。PDG方法中的关键步骤是建立间断和耦合条件，以保证解在不同局部空间之间的连续性。
针对含高阶空间导数的PDEs，PDG方法可采用高阶组合估计器和Hermite插值来进行离散化。将解表示成一组分段多项式，其中每个分段多项式在一个局部空间内满足特定的形状函数，可用于描述不同空间导数的变化方式。此外，PDG方法中的高积阶不等式也被用于界定误差，并对于更精细的误差估计起到关键作用。
数值实现
PDG方法的实现需要解决两个关键问题：局部空间的选择和恰当的间断条件建立。对于前者，密度函数的选择可以影响到PDG方法的收敛性和精度。一般而言，选择密度函数越平滑的局部空间，PDG方法的数值解也越平滑。对于后者，PDG方法的核心是建立间断条件，保证解在不同局部空间中的光滑性。对于线性PDEs，可采用单元间的数值通量和Flux-Reconstruction技术来构造间断条件。对于非线性PDEs，采用非线性通量公式和逐步线性化技术来建立间断条件。
应用
PDG方法已广泛应用于包括CFD、流体力学、材料科学和生物医学等领域中。例如，PDG方法可用于处理Navier-Stokes方程中的不光滑接口，提高算法的效率。PDG方法还能够处理牙齿形成和形态学分析、心脑血管疾病模拟，以及材料科学中的亚稳合金设计等方面。
结论
综上所述，PDG方法是一种应用广泛、有效和高效的数值方法，适用于处理含高阶空间导数的PDEs。PDG方法的数值实现需要选择适当的局部空间和建立恰当的间断条件。在实际应用中，PDG方法已发挥出了重要的作用，并将继续推动领域内的研究工作。