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含高阶空间导数偏微分方程的局部间断Galerkin方法的任务书
本文将介绍含高阶空间导数偏微分方程的局部间断Galerkin方法的任务书。首先，我们将从定义和背景入手，接着详述问题描述和研究目标，最后给出研究方法、预期结果和参考文献。
一、定义和背景
局部间断Galerkin方法是一种最近发展的数值方法，用于求解偏微分方程。它的特点是将域分割成多个小区域，每个小区域内采用不同的计算方法。在每个小区域内，该方法采用高精度的局部多项式逼近，分段建立函数空间。
高阶空间导数是偏微分方程中一类常见的求解目标。例如，对于波动方程，常常需要求出高阶空间导数来确定波心位置。因此，含高阶空间导数偏微分方程的求解问题一直是近些年来研究的热点。
二、问题描述与研究目标
本研究的任务是对含高阶空间导数偏微分方程进行计算，使用局部间断Galerkin方法求解其解析解并分析其性质。我们将利用该方法的高精度和有效性，尝试提高这一类问题的求解精度和计算速度。
具体来说，我们将研究以下方程：
-div(a∇u)+b⋅∇u+cu=f
-∂u/∂t+div(a∇u)+b⋅∇u+cu=f
其中，a(x)和b(x)是多项式函数，c(x)是常数，f(x)是已知函数，u(x)是未知函数。
研究目标为：
1.推导出含高阶空间导数偏微分方程的局部间断Galerkin方法，从理论层面上证明其正确性和有效性。
2.数值计算含高阶空间导数偏微分方程的数值解，并与其解析解进行对比，分析解析解和数值解的误差。
3.研究不同参数在计算过程中的影响（如多项式阶数、小区域大小等），提高计算效率并保证求解精度。
三、研究方法
针对上述研究目标，我们将采用以下研究方法：
1.由于局部间断Galerkin方法在高阶空间导数求解中具有很好的适用性，我们将详细介绍它的理论基础和基本思想。在此基础上推导出含高阶空间导数偏微分方程的局部间断Galerkin方法。
2.我们将使用Matlab等数学软件计算含高阶空间导数偏微分方程的数值解。将数值解和其解析解进行对比，分析误差的来源和大小。通过数值实验来验证方法的有效性和可行性。
3.研究多项式阶数、小区域大小等参数的影响，以提高计算效率并保证求解精度。通过比较不同参数组合下的计算结果，得出最优参数组合。
四、预期结果
本研究的预期结果如下：
1.提出了含高阶空间导数偏微分方程的局部间断Galerkin方法，取得了相关理论方面的进展。
2.通过计算数值实验，得到含高阶空间导数偏微分方程数值解和解析解的误差大小，初步验证了方法的有效性。分析误差来源和大小，得到了应对误差的方案。
3.通过研究不同参数组合下的计算结果，得到了方法的最优参数组合，提高了计算效率并保证了求解精度。
五、参考文献
1.杨宏伟,徐媛媛,陈晓云.局部间断Galerkin方法在偏微分方程求解中的应用.数学的实践与认识,2014.
2.李宁,丁东方.偏微分方程数值解法及其Matlab实现(第2版).清华大学出版社,2015.
3.Guo,Ben-Yu,etal.LocaldiscontinuousgalerkinmethodsfortheKdVtypeequations.SIAMJournalonScientificComputing,2004.