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紧交换李群的自同构群及其在Weyl群中的应用的中期报告
本文将讨论紧交换李群的自同构群及其在Weyl群中的应用。首先，我们回顾一些基本的定义和性质。
定义1：一个李群是一个拓扑空间，它同时是一个群，满足群运算和逆运算是连续的。
定义2：一个紧李群是一个李群，它是紧的。
定义3：一个交换李群是一个李群，它的群运算是交换的。
定理1：一个紧交换李群是一个紧可逆代数，即一个可逆的有限维交换代数。
接下来，我们考虑紧交换李群的自同构群。我们先给出定义：
定义4：一个群的自同构群是指所有从该群到自己的同构映射的集合，它构成一个群，同构映射的复合是群运算。
定理2：一个紧交换李群的自同构群同构于该李群的二阶同调群，其中的乘法运算是Cup积。
接着，我们探讨紧交换李群在Weyl群中的应用。Weyl群是李代数的对称群，它与李群的李代数相关联。Weyl群的元素是置换，它们通过对李代数中的根进行置换而定义。
定理3：对于一个紧交换李群，其Weyl群同构于其自同构群的中心扩张，其中中心是李群的元素群，它由李群的中心元素构成。
最后，我们给出一个例子来说明上述结果的应用。考虑紧交换李群SU(2)的Weyl群，它同构于群Z2，这意味着这个Weyl群只有两个元素。在此情况下，李群SU(2)的自同构群的中心扩张是一个四元素群，其元素分别为1，-1，i和-i。这个四元素群实际上是李群SO(3)的离散子群，它是旋转对称性的代数表示的对称群。因此，我们得到一个紧交换李群SU(2)和一个离散群SO(3)之间的重要联系，这对于物理学、几何学等领域有广泛的应用。