北邮随机信号答案ch5.pdf

第5章习题解答

5.1证明：(1)偶函数的希尔伯特变换为奇函数；

(2)奇函数的希尔伯特变换为偶函数。
证明:
（1）设x()t为偶函数,则
1
xtˆ()=⊗xt()
πt
111
xˆˆ()−=txt()−⊗=xt()⊗=−xt()⊗=−xt()
ππ()−−ttt()π

所以xˆ()t为奇函数。

（2）设x()t为奇函数,则
1
xtˆ()=⊗xt()
πt
111
xˆˆ()−=txt()−⊗=−xt()⊗=xt()⊗=xt()
πππ()−−ttt()

所以xˆ()t为偶函数。

5.2设A()t与ϕ()t为低频信号，证明

(1)H[A(t)cos[ω0t+ϕ(t)]=A(t)sin[ω0t+ϕ(t)]

(2)H[A(t)sin[ω0t+ϕ(t)]=−A(t)cos[ω0t+ϕ(t)]

5.3证明广义平稳过程X()t与其希尔伯特Xˆ()t的相关函数存在下述关系：

(1)=-ˆ
RXXˆ(τ)RX(τ)

(2)=ˆ
RXˆX(τ)RX(τ)

(3)=
RXˆ(τ)RX(τ)

(4)是奇函数。
RXXˆ(τ)
1
证明:(1)R(τ)=R(τ)⊗h(−τ)=R(τ)⊗=−Rˆ(τ)
XXˆXXπ(−τ)X
1
(2)R(τ)=R(τ)⊗h(τ)=R(τ)⊗=Rˆ(τ)
XˆXXXπτX

2
(3)因为
GXˆ(ω)=GX(ω)H(ω)=GX(ω)

所以
RXˆ(τ)=RX(τ)
1
(4)由RRhR()ττττ=⊗−=⊗()()()
XXˆXX−πτ
11
R(−τ)=R(−τ)⊗=R(τ)⊗=−R(τ)⊗h(−τ)=−R(τ)
XXˆXπτXπτXXXˆ

即是奇函数，因此
RXXˆ(τ)

RXXˆ(0)=−RXXˆ(0)=0
上式表明，X(t)与Xˆ(t)在同一时刻是正交的。

5.4设X()t的解析信号为Z()tXtjXt=+()ˆ()，

∗ˆ
(1)证明：E{Z(t)Z(t−τ)}=2[RX(τ)+jRX()τ]

(2)证明：E{}Z(t)Z(t−τ)=0

(3)求Z(t)的功率谱密度（假定X(t)的功率谱密度为GX(ω)）。

解：（）*
1REZtZtZ()τ=−{()(τ)}
ˆˆ
REXtjXtXtjXtZ(τ)=+{[()()][(−−−ττ)()]}

=RX(τ)+RXˆ(τ)+j[RXˆX(τ)−RXXˆ(τ)]

由于，ˆ，所以上式可简化为
RX(τ)=RXˆ(τ)RXXˆ(τ)=RXˆX(−τ)=−RX(τ)
ˆ
RRjRZ()τ=+2[XX()ττ()]
（3）对上式两边取傅立叶变换，得

GGZ()ω=+2[()XXωωωsgn()G()]

⎧4GX(ω)ω>0
=⎨
⎩0ω<0
上式表明，随机信号得的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号
功率谱的四倍。

5.5设一个线性系统输入为X()t时，相应的输出为Yt()。证明若该系统的输入为X()t的

希尔波特变换Xˆ()t，则相应的输出为Yt()的希尔波特变换Ytˆ()。

5.6在复随机过程Z(t)=X(t)+jY(t)中，如果Z(t)的均值

E[]Z(t)=E[]X(t)+jE[]Y(t)=mZ是复常数，且Z(t)的自相关函数

∗
E{Z(t)Z(t−τ)}=RZ(τ)为仅于τ有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程。设

Ak(kn=12,,",)是n个实随机变量；ωk(kn=12,,",)是n个实数，试问{Ak}应该满足
怎样的条件才能使

n
jωkt
Z(t)=∑Ake
k=1

是一个复平稳随机过程。

5.7设有复随机过程

n
Z(t)=∑()αicosωit+jβsinωit
i=1

其中αi与βk是相互独立的随机变量，αi与αk、βi与βk()ik≠是相互正交的，数学期

望和方差分别为E[α]=E[β]=0,σσσ222==。求其复随机过程的相关函数。
iiαβiii

解：

*
Rttz(,12)=EZtZt{()1()}2
⎧⎫nn
=αω+βωαω−βωEtjttjt⎨⎬∑∑[iicos11iisin][kkcos2kksin2]
⎩⎭ik==11
nn
=αω+βωαω−βω∑∑Etjttjt{[iicos112iikksin][coskksin2]}
ik==1
nn
=∑∑Ettjtt{[ααωω+βωαωikcosi12coskisini1kcosk2
ik==1

−αβjikcosωω+ββωωikikiktt12sinsintt12sin]}
n
22
=σ∑[coscosiiωtt12ω+σωiiisinsin]tt12ωi
k=
n
2
=σ∑iicosω−(tt12)
k=
5.8设信号X()t的带