北邮随机信号答案ch8.pdf

第8章习题解答

8.1图8.13为二元对称信道示意图。ε为交叉概率，即信道输入为0(或1)时，输出为1(或

0)的概率，而且ε是一个很小的量。设先验概率相等。试求：

（1）保证总错误概率最小的判决规则；
1
（2）ε<时的错误概率。
2

1−ε
00

ε

ε
1
1
1−ε
图8.13二进制对称信道

1
解:由题意可知,如果ε<,那么,如果收到”0”应该判”0”,收到”1应该判”1”,总得错误概率
2
为
11
P=+=PH()PPH()P()PD(|)H+PD(|H)=ε+ε=ε()
eFM01220110

8.2设有两种假设，

H0:zvii=i=1,2…,N

H1:zvii=+1i=1,2…,N

其中vi~N(0,1)，且噪声相互独立，假定P(H0)=P(H1)，求最大后验概率准则的判决表达式，
并确定判决性能。

解两种假设下的似然函数为

N1⎛⎞z2
fH(|z)=−expi
0∏⎜⎟2
i=12πσ⎝⎠2σ

N1⎡⎤(1)z−2
fH(|z)=−expi
1∏⎢⎥2
i=12πσ⎣⎦2σ
N1⎡⎤(1)z−2
exp−i
∏⎢⎥2N
i=12πσ⎣⎦2σ⎡N⎛⎞11⎤
Λ=()z=expz−
N2⎢2⎜⎟∑i⎥
1⎛⎞zσ⎝⎠Ni=12
exp−i⎣⎦
∏⎜⎟2
i=12πσ⎝⎠2σ

对数似然比为

N⎛⎞11N
lnΛ=(z)z−
2⎜⎟∑i
σ⎝⎠Ni=12

判决表达式为
H
N⎛⎞11N1
z−η>ln
2⎜⎟∑i<0
σ⎝⎠Ni=12
H0
1N
令，将上式整理后得
zz=∑i
Ni=1
H
1σ21
z>lnη+=γ
<N02
H0

检验统计量z为样本均值，为了确定判决的性能，首先需要确定检验统计量的分布，在H0

1N
为真时，，那么，
zH|0=∑vi
Ni=1

1⎛⎞z2
fzHz(|0)=−exp⎜⎟2
2/πσ2N⎝⎠2/σN

11NN
在为真时，
H1zH|(1)11=+=+∑∑viiv
NNii==11

1(1)⎛⎞z−2
fzHz(|1)=−exp⎜⎟2
2/πσ2N⎝⎠2/σN

所以，虚警概率为

2
∞1⎛⎞zN⎛⎞γ
PPzH=>γ=(|)exp−dzQ=⎜⎟(8.2.7)
F0∫γ2⎜⎟2⎜⎟
2/πσN⎝⎠2/σσN⎝⎠

检测概率为

2
∞1(1)(1)⎛⎞zN−γ−⎛⎞
PPzH=>γ=(|)exp−dzQ=⎜⎟(8.2.8)
D1∫γ2⎜⎟2⎜⎟
2/πσN⎝⎠2/σσN⎝⎠

当采用最小错误概率准则且P(H1)=P(H0)时，η0=1，判决表达式为
H
11
z>=γ
<2
H0
⎛⎞N⎛⎞NN⎛⎞
PQ=,PQ=−=−1Q
F⎜⎟D⎜⎟⎜⎟
⎝⎠2σ⎝⎠22σ⎝⎠σ

总的错误概率为

⎛⎞N
PPHPPHPQ=+=()()
eFM01⎜⎟
⎝⎠2σ

8.3设信号

相应的先验概率为P
⎪⎧A()H0
st()=⎨
相应的先验概率为P
⎩⎪−A()H1
1
且PH()==PH()。现以正态噪声N(0,σ2)为背景，采用一次观测进行二择一检验。
102n
试求最小错误概率准则的判决表达式，并计算其平均错误概率，画出接收机的方框图。

解两种假设下的似然函数为

N1⎛⎞()zA−2
fH(|z)=−expi
0∏⎜⎟2
i=12πσ⎝⎠2σ

N1⎡⎤()zA+2
fH(|z)=−expi
1∏⎢⎥2
i=12πσ⎣⎦2σ

N1⎡⎤()zA+2
exp−i
∏⎢⎥2N
i=12πσ⎣⎦2σ⎡21NA⎛⎞⎤
Λ=()z=exp−z
N2⎢2⎜⎟∑i⎥
1⎛⎞()zA−σ⎝⎠Ni=1
exp−i⎣⎦
∏⎜⎟2
i=12πσ⎝⎠2σ

对数似然比为

21NAN

lnΛ=−(z)2zz=∑zi
σNi=1

判决表达式为
H
2NAz1
−η>ln
σ2<0
H0
假定A>0,则
H
0σ2
z>−η=γln
<2NA0
H1
检验统计量z为样本均值，为了确定判决的性能，首先需要确定检验统计量的分布，

22
zH|~(,/)0NAσN，zH|~(,/)1N−σAN。

所以，虚警概率为

2
γ1()()⎛⎞zA−γ−⎛⎞NA
PPzH=<γ=(|)exp−dzQ=−1⎜⎟
F0∫−∞2⎜⎟2⎜⎟
2/πσN⎝⎠2/σσN⎝⎠

检测概率为

2
∞1()()⎛⎞zA+γ+⎛⎞NA
PPzH=>γ=(|)exp−dzQ=⎜⎟
M1∫γ2⎜⎟2⎜⎟
2/πσN⎝⎠2/σσN⎝⎠

当采用最小错误概率准则且P(H1)=P(H0)时，η0=1，γ=0，判决表达式为
H
>0
z<0
H1
⎛⎞⎛⎞NANA⎛⎞NA
PQ=−1−=Q,PQ=
F⎜⎟⎜⎟M⎜⎟
⎝⎠⎝⎠22σσ⎝⎠2σ

总的错误概率为

⎛⎞NA
PPHP