2003年春季高考数学试题(北京文)及答案-2003年高考数学.doc

2003年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
正棱台、圆台的侧面积公式

其中、c分别表示上、下底面周长
l表示斜高或母线长
球体的体积公式

其中R表示球的半径
参考公式：
三角函数的积化和差公式

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设，且下列结论中正确的是()
A． B． C． D．
2．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于()
A． B． C． D．－2
3．若，则方程的根是 ()
A．－2 B．2 C．－ D．
4．若集合()
A． B． C． D．
5．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是()
A． B． C． D．
6．在等差数列中，已知，那么等于()
A．4 B．5 C．6 D．7
7．设复数()
A．－ B． C． D．
8．函数的递增区间依次是()
A． B． C． D
9．在同一坐标系中，方程的曲线大致是()

10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为()
A．6 B．12 C．15 D．3011．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为
AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与
IJ所成角的度数为()
A．90° B．60° C．45° D．0°
12．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．函数的最小正周期为
14．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则
15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内
年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）8816．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是
三、解答题：本题共6小题，共74分
17．（本小题满分12分）解不等式：
18．（本小题满分12分）
已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

19．（本小题满分12分）
如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.
（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；
（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；
（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.

20．（本小题满分12分）
设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹.
21．（本小题满分13分）
某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

22．（本小题满分13分）
如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求的值.

2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A10.D11.B12.B
二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
13．π14．15．（140）（85）16．.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.
解：原不等式
.
故原不等式的解集是.
18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.满分12分.
解：由.
所以的定义域为
因为的定义域关于原点对称，且
是偶函数.
又当
，
所以的值域为
19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、