复变函数留数ppt课件.ppt

第五章留数§1留数的概念与计算.定理6.1（柯西留数定理）在围线或复围线所范围的区域内，除

外解析，在闭域
上除外连续，则
证：作圆周
使全含于内且两两不相交，则由柯西积分定理
2、留数的求法求函数在奇点a处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数即可.如果a是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),a]=0,如果a是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开。如果a是极点,则有一些对求c-1有用的规则.留数的计算规则规则1如果a为f(z)的一级极点,则事实上,由于f(z)=c-m(z-a)-m+...+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+...,(z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+... +c-1(z-a)m-1+c0(z-a)m+...,..由规则1,得我们也可以用规则III来求留数:....例4计算而

由残数定理，得
例5计算由留数定理得
3、无穷远点的留数(略）定理5.2若在扩充平面上只有有限个孤立奇点，设为

则留数总和为0
计算的残数的方法：例6.5计算解：共有七个奇点：

前6个根均在内部，故
而

故。从而
§2用留数定理计算实积分利用留数计算定积分是复变函数一个重要应用。1、被积函数------与某解析函数相关2、积分区域------化为某闭合路径考虑如下几种形式的定积分一、计算其中R为cos,sin有理函数，并且在[0,2π]上连续。若R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.可令z=eiq,则dz=ieiqdq,f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零(没有奇点）,根据留数定理有例1计算在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.....若R(cos,sin)为的偶函数，还可以求如下形式的积分
例3：计算积分

解：因为积分号下的函数是x的偶函数

则设，则
..取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变....3.形如的积分因此,在半径R充分大的CR上,有...课堂练习：.4、杂例...作业：P164
1,2，15（1）（5）§3辐角原理与儒歇定理计算（1）自然用到留数定理，首先，分析被积函数的奇点，显然，f(z)的零点和奇点都可能是
的奇点。

引理6.4（1）设为的级零点，则必

为函数的一级极点，且
（2）设为的级极点，
则必为函数的一级极点。且
.证：（1）若为的级零点，则有

其中解析，且
于是

因右端第二式解析，故为的
一级极点，且（1）式成立。定理6.9设是一条围线，满足：
（1）在的内部除可能有极点外是解析的。
（2）在上解析且不为零。
则有
辐角原理在定理6.9的条件下，有
定理6.10（儒歇定理）设是一条围线，函数及满足：
（1）它们在内部均解析，且连续到

（2）在上，
则例6.13设次多项式

合条件

则在单位圆内有个零点。证：取

易验证在单位圆周上，有
依儒歇定理知
在单位圆内的零点，与
在单位圆一样多，即个。
例6.14试证：当时，方程

在单位圆内有个根。证：在单位圆周上，有
由儒歇定理

即方程在单位圆内有个根。
例6.16试证：方程

的根全在圆环内。
证：由例6.13知方程在无根。
又在圆周上

故由儒歇定理，方程的7个根全在
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