复变函数课件--复变函数6 留数.ppt

第五章留数将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,
且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...
(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.如果z0为f(z)的极点,由(*)式,就有综上所述:4.函数的零点与极点的关系这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数
c0=c1=...=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒
为零的解析函数的零点是孤立的.例2例35.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=
的去心邻域R<|z|<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限
是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.§2留数称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正
向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中
(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对
求留数可能更有利.2.留数的计算规则规则1如果z0为f(z)的一级极点,则令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!
就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。即得规则3。由规则1,得例53.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R<|z|<内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域
R<|z|<+内洛朗展开式中z-1的系数变号.定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,
那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.所以规则4成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.证明：