《矩阵论》课件09满秩分解谱分解(华中科大).pdf

第九讲满秩分解,可对角化矩阵的谱分解
[回顾]在线性代数中学到矩阵间的两种关系
⎡I0⎤
⎢r⎥
等价标准形：当rank(A)=r,Amn××=PQmmn×n
⎣⎢00⎦⎥
−1
相似标准形：Ann×=PJAP

一、矩阵的满秩分解

1.定义：设AF∈mn×(rankA=r>0)，若存在矩阵BF∈m×r及

CF∈r×n，使得

A=BC，则称其为A的一个满秩分解。

说明：（1）B为列满秩矩阵，即列数等于秩；C为行满秩矩阵，

即行数等于秩。

r×r
（2）满秩分解不唯一。∀∈DF（r阶可逆方阵），则

−−11
AB==CB(DD)C=(BD)(DC)=B11C，且
mr××rn
BF11∈∈,CF
2.存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解

证：采用构造性证明方法。设AF∈=mn×,rank(A)r，则存在

初等变换矩阵PF∈∈mm××,QFnn，
⎛⎞⎛⎞
I0r⎟−−11I0r⎟
使PAQ=⎜⎟，即AP=⎜⎟Q
⎝⎠⎜00⎟⎝⎠⎜00⎟
−1−1
并把P分块成PB=[|B1]，
r(列列m−r)
⎡⎤Cr行
⎢⎥
Q−1=⎢⎥.......
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦C(1m−r)行
⎡C⎤
⎡⎤I0⎢⎥
∴=AB[]B⎢⎥r⎢⎥..=BC是满秩分解。
1⎢⎥⎢⎥
⎣⎦00⎢⎥
⎣C1⎦
3．满秩分解的求法：
⎡⎤AI
方法一：⎢m⎥初等变换（复杂，弃用）
⎢⎥
⎣⎦I0n
⎡A⎤
⎢⎥
方法二：AI行初等变换或者⎢.......⎥列初等变换
[m]⎢⎥
⎢⎥
⎣In⎦
⎛⎞112
⎜⎟
⎜⎟
P68,例4：设A0=⎜22⎟,求A的满秩分解。
⎜⎟
⎝⎠⎜101⎟

方法三：

①Hermite标准形（特殊的行阶梯标准形）

设BF∈m×n，且满足

（1）行阶梯标准形；

（2）每一行第一个非零元素必须为1；

（3）每行第一个非零元所在的列中其他元素均为零。

⎡⎤1200−13
⎢⎥
⎢⎥001022
⎢⎥
例=⎢⎥∈5×6为标准形
1BF1⎢0001−11⎥Hermite
⎢⎥
⎢⎥000000
⎢⎥
⎣⎦00000056×

⎡⎤00102
⎢⎥
⎢⎥00013
B=⎢⎥∈F4×5也是Hermite标准形
2⎢⎥
⎢⎥00000
⎢⎥
⎣⎦0000045×
②满秩分解的一种求法

设AF∈=mn×,rank(A)r，

（1）采用行初等变换将A化成Hermite标准形；

（2）得到A的列向量极大无关组{,αα,…,α}，令
j12jjr
B(=αα,,…,α)
j12jjr

（3）A的Hermite标准形中非零行构成矩阵C。
⎡⎤112
⎢⎥
例A=⎢022⎥求其满秩分解。
1⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦101
⎡⎤010−156
⎢⎥
⎢⎥02000−14
例A=⎢⎥求其满秩分解。
2⎢⎥
⎢⎥21−−2401
⎢⎥
⎣⎦−−21221025

二，可对角化矩阵的谱分解（分解为多个矩阵的和）

1，定义

方阵的谱：即为方阵互异特征值{,λλ12,…,λs}

当A可对角化时，由相似标准形（Jordan标准形），存在P,

⎡⎤λ
⎢⎥1
⎢⎥
⎢⎥⎡⎤I0r⎡⎤00
A==P⎢⎥λλP−−11P⎢⎥1P+...+λP⎢⎥P−1
⎢⎥11⎢⎥s⎢⎥0I
⎢⎥⎣⎦⎢⎥00⎣⎦⎢⎥rs
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎢⎥λs
ss
−1
=∑∑λλii(PQP)iPi
i1==i1
⎡⎤
⎢⎥0
⎢⎥−1
其中，QIir==⎢⎥,PiPQiP
⎢⎥i
⎣⎦⎢⎥0

可对角化矩阵分解为s个方阵的加权和，权为矩阵的谱。（即谱分解）

n×n
2，PFi∈具有以下性质
s
①（和式不加权时）
∑PIin=,
i1=
2
②（幂等阵）Pii==P,i1,2,...,s,

③PPij=≠0,ij.

进一步研究幂等阵的性质：

P72,定理3.4方阵PF∈n×n为幂等阵，则

（1）PH和I−P仍为幂等矩阵；

（2）P的特征值为1或者0，而且P可相似于对角矩阵；

（3）Fn=⊕N(P)R(P)

[证明]：

3，方阵谱分解的存在性？

n×n
P73,定理3.5设AC∈，A的谱为{,λλ12,…,λs}，则
s
的对角化的充要条件是有如下分解式，其中方阵
AAA∑λiPi
i1=
n×n
PCi∈，满足条件：①②③。
[证明]：

4，Hermite矩阵（特殊可对角化矩阵）的谱分解

①Hermite矩阵可对角化结论

引理：对于Hermite矩阵A(AH=A)，存在酉矩阵U,使得
⎡⎤λ
⎢⎥1
UAHU=⎢⎥.
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦λn
Remark:对称矩阵一定可对角化。

②有关谱分解结论由下面的定理给出：

P73,定理3.6设AF∈n×n是半正定的Hermite矩阵，rank(A)=k,则