《矩阵论》课件10QR分解与Schur分解(华中科大).pdf

第十讲UR(QR)分解与Schur分解

一、UR分解和QR分解（UR的推广）

1.定义：如果实（复）矩阵A可化为正交（酉）矩阵U与实（复）上三

角矩阵R(主对角线元为正)的乘积，即A=UR，则称上式为A的UR分

解。

2.可逆方阵的UR分解

①存在性：

P74定理3.7：设A是n阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵U与

实（复）上三角矩阵R使得A=UR，其中
⎡⎤rrr
⎢⎥11121n
⎢⎥r
=>⎢⎥22=
R⎢⎥,rii0;i1,2,...,n.
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦rnn

[证明]：设A记为A=[αα12αn]，A非奇异→αα12,,,αn线

性无关

采用Gram-schmidt正交化方法将它们正交化，可得ββ12,,,βn

⎡||βα||(,ε)(α,ε)⎤
⎢121n1⎥
⎢||βα||(,ε)⎥
ααα=εεε⎢2n2⎥
[]12n[12n]⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣||βn||⎦

=[εε12εn]R

Q是正交（酉）矩阵，

R是实（复）上三角矩阵。
②求可逆矩阵的UR分解(Schmidt正交化方法)

⎡⎤100
⎢⎥
例，设A1=⎢⎥10
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦111
将UR分解推广到对列满秩矩阵进行：

3，列满秩矩阵的QR分解

P76,定理3.8.设A是m×k的实（复）矩阵，且其k个列线性无关（即

列满秩），则A具有分解A=QR。其中Q是m×k阶实（复）矩阵，且

满足QQT=I(QHQ=I)，R是k阶实（复）非奇异上三角矩阵。

二，Schur定理（Schur分解）

1，内容：设AC∈n×n，则存在酉矩阵U和上三角矩阵T使得
⎡⎤λtt
⎢⎥1121n
⎢⎥λt
H==⎢⎥22n
UAUT⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦λn
−1
AP=JAP,
[证明]：PU=R
⇒=AUTUH

2，酉相似定义：A酉相似于B⇔=存在酉U,st,UHAUB

三，正规矩阵

1，定义：AC∈n×n满足AAH=AAH，称为正规矩阵。
2，常见的正规矩阵：

a)对角矩阵

b)对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。

c)Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A

d)正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I

Remark1：与正规矩阵酉相似的都是正规的。

即A为正规矩阵，已知B酉相似于A,则B亦为正规阵。

[证明]
×
Remark2：∀A∈Fmn，矩阵AHA和矩阵AAH是正规矩阵。

3，正规矩阵的基本特性

①正规矩阵的充要条件：

P78,定理3.10AC∈n×n是正规矩阵的充要条件是A酉相似于对角矩阵。

[证明]

推论：AC∈n×n是正规矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

构成空间Cn的标准正交基。

②正规矩阵的谱分解

n×n
设AC∈，A的谱为{,λλ12,…,λs}，则
s
是正规阵的充要条件是有如下分解式，其中方阵
AAA∑λiPi
i1=
n×n
PCi∈，满足条件：
s
（和式不加权时）
∑PIin=,
i1=
2
（幂等阵）Pii==P,i1,2,...,s,

H
PPij=0,i≠j.Pi=Pi.

4,正规性质的应用举例

例1，证明酉矩阵的特征值模长为1。

例2，设A为实矩阵，且AATT=AA，

a)若A的特征值为实数，则A是对称矩阵；

b)若A的特征值是0和纯虚数，则A是反对称矩阵。

例3，A是正规矩阵，证明

a)A的特征向量也是AH的特征向量；

b)任意X∈Cn，AX与AHX的长度相等。

例4，设A是正规矩阵，证明：

a)若对于正整数m,有Am=0，则A=0。

b)若A2=A，则AAH=。

c)若A3=A2，则AA2=。