矩阵的满秩分解.docx

§4.3矩阵的满秩分解

本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。
设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。
当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
设复矩阵的秩为，则有满秩分解。
证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵，
其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积，
记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。
则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。▌
但是，矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有
。
求矩阵的满秩分解。
解：对矩阵进行初等行变换

其中所以，；而，其中

由此可见，所以有。
设复矩阵的秩为，并且满足以下条件：
1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零；
2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列，
则；
3）矩阵的列是单位矩阵的前列；
则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。
由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。
以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。
设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。
例2、求矩阵的满秩分解。
解：先求出矩阵的Hermite标准形

，的第1列与第2列构成的前两列，所以矩阵为的第1列与第2列构成的矩阵，为的前2行构成的矩阵，即，，
所以。
对比例1，可以看出矩阵的满秩分解不唯一。