第二章 控制系统的数学模型.ppt

第二章物理系统的数学模型及传递函数§2.1系统的数学模型二、建模方法
运用不同学科的基本定理；
对于复杂系统可以忽略一些次要因素；
要经过实验验证。三、非线性系统线性化
（一）线性系统

若an…..a0和bm……b0均为常数，称为线性定常系统或
线性时不变系统。
反之，若各系数均为时间t的函数，称为线性时变系统。线性系统必须满足两个条件：
1.叠加性
若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)
则x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)
线性系统的各输入产生的输出互不影响。（二）非线性系统
系统的输出与输入间不满足叠加性和均匀性。
如§2.2传递函数例：RL电路，ur若作输入，i作输出，求系统传递函数。
解：
①依据系统遵循的电路定理，列写微分方程
Ldi(t)/dt+Ri(t)=ur(t)
②在零初始条件下，即i(0)=0时，对上式进行拉氏变换
LsI(s)+RI(s)=Ur(s)
③由定义，得传递函数
G(s)=I(s)/Ur(s)=1/(Ls+R)传递函数：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。二、传递函数性质
只适用于线性定常系统在零初始条件下；
只反映系统传输形式，取决于系统结构参数，与输入信号大
小和性质无关；不同物理系统可具有相同类型传递函数；分母代表系统的固有特性，分子代表输入与系统的关系，如
输入点位置、输入方式、测点位置等；
n表示系统的阶数，且m≤n；
传递函数可有/无量纲；一个传递函数只反映系统的一个输入量和输出量之间关系。
例：上题中若以ur(t)作输入，以u0(t)作输出，求传递函数。
解：①Ldi(t)/dt+u0(t)=ur(t)
u0(t)=Ri(t)

②LsI(s)+U0(s)=Ur(s)
U0(s)=RI(s)

③G(s)=U0(s)/Ur(s)=R/(Ls+R)§2.3典型环节的传递函数1．比例环节（放大环节）
c(t)=Kr(t)
G(S)=K
式中，K——放大系数或增益。２．惯性环节

式中，K——比例系数或增益；
T——时间常数，代表惯性的大小，T愈大，响应愈慢。
因系统中存在储能元件，如L、C等，对于突变的输入，输出不能立即复现，而是呈现一定的惯性（即滞后）。例：求质量－阻尼－弹簧系统的传递函数。
解：若ｍ相对较小，可略去其影响，则

其中例：求电路图的传递函数。
解：

其中，T=RC３．微分环节

一般不单独存在，称为理想微分环节。
例：求R-C电路的传递函数。
解：

其中，T=RC４．积分环节

例：一齿轮齿条传动机构，齿轮的转速n为输入量，齿条的位移x为输出量，求传递函数。
解：
５．振荡环节

T2d2c(t)/dt2＋2ζTdc(t)/dt＋c(t)＝r(t)
G(s)=1/(T2s2+2ζTs+1)
式中T－－时间常数。
环节有两类储能元件，储存能量并相互转换，在转换过程中使输出产生振荡，如RLC电路、M－K－C（质量－弹簧－阻尼）机械系统等。例：求RLC电路的传递函数，输入量为ur，输出量为uc。
解：

当初始条件为零时，例：求质量－阻尼－弹簧系统的传递函数。
解：

其中§2.4系统的方框图及其联接一、环节的基本连接方式
１．串联
２．并联
３．反馈联接（2）闭环传递函数

单位反馈系统（3）干扰作用下的闭环系统
运用线性系统的叠加原理，即分析r(t)时，假设n(t)=0；分析n(t)时，假设r(t)=0。输入Xi(s)作用下系统的输出X01(s)输入和干扰同时作用下的输出X0(S)（4）误差传递函数
输入Xi(s)作用下的误差E1(s)干扰N(s)作用下的误差E2(s)
输入和干扰同时作用下的误差E(S)二、方框图的变换与简化
方框图的变换
(1)分支点(信号由某一点分开，也称综合点)移动(2)相加点(对信号求和，也称引出点)移动
（3）综合点位置的交换

将图2.42(a)中两个综合点的位置交换后得到图2.42(b)。二者完全相等。所以交换相邻综合点的位置，不会改变结构图的输入输出关系。
多个相邻综合点的位置也可以任意交换。

（4）相邻引出点位置的交换

相邻引出点引出的是同一信号，显然，它们的位置是可以任意交换的(见图2.43)。图2.47RLC网络结构图等效变换图2.47RLC网络结构图等效变换将前向通道的两个串联方框合并后，再用反馈法则将结构图等效为一个方框，得到网络的传递函数为简化结构图的步骤：

⑴确定系统的输入量和输出量。如果系统有多个输入量，每次只保留一个输入量，令其他的输入量为零，分别对每个输入量逐个进行结构图的简化，求得有关的传递函数。对于有多个输出量的系统，也应按类似的方法分别进行处理。

⑵如果结构图中有交叉连接，应移动某些