函数的性质及图象变换.doc

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函数的基本性质及图象变换
1.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，
为奇函数，其中，则的值是（答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.（答：）
④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数＝____（答：1）.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数，，。①判断与的奇偶性；②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____（答：①为偶函数，为奇函数；②＝）
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
2.函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：）)；
②在选填题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）
3.常见的图象变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为__________(答：)
②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如（1）若，则函数的最小值为____(答：2)；（2）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；（3）函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)
③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；
④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么(答：C)
⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．
⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.
4.函数的对称性。抽象函数关系式中异号则函数具有对称性
（1）轴对称：抽象函数关系式中异号同号则函数具有轴对称性
①对称轴为即为轴；
②对称轴为；
③对称轴为；
；
（2）中心对称：抽象函数关系式中异号异号则函数具有中心对称性
①对称中心为；
②对称中心为；
③对称中心为；
④对称中心为；
①满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；
②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称