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基于CN格式的并行差分方法及其数值分析的中期报告
摘要：
本报告介绍了一种基于CN格式的并行差分方法，该方法被用于求解偏微分方程。该方法包括两个主要步骤：第一步是使用显式差分方法求解偏微分方程的隐式部分；第二步是使用一种快速迭代法求解线性方程组。我们还对该方法的数值稳定性和收敛性进行了分析，并通过数值试验验证了该方法的有效性。
介绍：
差分方法是求解偏微分方程最常用的方法之一，它通过将偏微分方程离散化为代数形式来进行求解。但是，对于大型偏微分方程，往往需要实现并行求解，才能满足计算资源的需求。因此，我们提出一种基于CN格式的并行差分方法，以高效地求解偏微分方程。
方法：
该方法采用的是CN格式（Crank-Nicolson格式），这是一种隐式的有限差分格式，因此，我们需要使用显式差分方法来计算它的隐式部分。我们采用了三点差分格式来计算时间和空间导数，同时使用迎风格式来计算对流项。我们还使用了MPI（MessagePassingInterface）来实现并行计算。
为了求解线性方程组，我们采用了快速迭代法，并使用弹性件松弛技术（SOR）进行加速。具体而言，我们使用了Jacobi预处理，并通过MPI进行并行计算。此外，我们还将时间步长设置为可变值，以进一步提高计算效率。
结果与分析：
数值试验表明，该方法能够有效地求解偏微分方程，并且具有良好的数值稳定性和收敛性。实验结果还表明，加速作用非常显著，特别是对于具有大量网格单元的大型模型。此外，我们还发现，该方法可以有效地利用并行计算资源，以加速求解过程。
结论：
本报告介绍了一种基于CN格式的并行差分方法，对其进行了数值分析和实验验证。结果表明，该方法具有良好的数值稳定性、收敛性和计算效率。如果将其应用于大型偏微分方程的求解中，将有望提高计算效率，并更快速地得到准确的求解。