求函数值域的方法.doc

例析求函数值域的方法
函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。一、直接法：（从自变量x的范围出发，推出y?f(x)的取值范围）例1．求函数y?
x?2的值域。

解：因为x?0，所以x?2?2，所以函数y?
x?2的值域为?2,???。
2

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如F(x)?af(x)?bf(x)?c的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数y??x2?4x?2（x?[?1,1]）的值域。解：y??x2?4x?2??(x?2)2?6，因为x?[?1,1]，所以x?2?[?3,?1]，所以1?(x?2)?9
2

所以?3??(x?2)?6?5，即?3?y?5
2

所以函数y??x2?4x?2（x?[?1,1]）的值域为[?3,5]。三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例4．求函数y?
1?x2x?5

的值域。
122x?5(2x?5)?72??12?72，2x?5

解：因为y?
7

1?x2x?5

??

所以

12?0，所以y??，2x?521?x2x?5

所以函数y?

的值域为{y|y??}。
2

1

四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如
y?ax?b?cx?d（a、b、c、d均为常数，且a?0）的函数常用此法求解。

例4．求函数y?2x?1?2x的值域。
1?t2
2

解：令t?

1?2x（t?0），则x?

，

所以y??t2?t?1??(t?因为当t?
12

12

)?
2

545454

，即x?

38

时，ymax?

，无最小值。

所以函数y?2x?1?2x的值域为(??,]。

五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y?x?
kx

?k

?0?的值域（0?x?

k时为鹾?x?

k时为增函数））

例5．求函数y?x?1?2x的值域。解：因为当x增大时，1?2x随x的增大而减少，?1?2x随x的增大而增大，所以函数y?x?1?2x在定义域(??,]上是增函数。
21

所以y?

12

?

1?2?

12

?

12

，所以函数y?x?1?2x的值域为(??,]。
2

1

六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数y?
x?1
2

x?1
2

的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得
(y?1)x??(y?1)，
2

因为y?1，所以x??
2

y?1y?1

（x?R，y?1），

所以?

y?1y?1

?0，所以?1?y?1，

所以函数y?

x?1
2

x?1
2

的值域为{y|?1?y?1}

七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数y?x?1?x?1的值域。y
??2x,x??1?解：y?x?1?x?1，y??2,?1?x?1，?2x,x?1?

2

图像如右图所示，故原函数的值域为?2,??

?

-1o

1

x

除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x的二次方程F?x,y??0，通过方程有实根，
??0，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。