632函数—求函数值域的方法.doc

课题：3.2函数—求函数值域的方法教学目的：1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.2．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力；教学重点：值域的求法教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法二、讲解新课：1．直接法：利用常见函数的值域来求:(1)．一次函数:定义域R,值域R;(2)．反比例函数:定义域,值域;(3)．二次函数:定义域R,值域：当时，；当时，.例1．求下列函数的值域:①y=3x+2(-1x1)②③④⑤．解：①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1，5].（此法为观察法）②∵∴,即函数的值域是{y|y2}.③y＝≥∴所求函数值域为［，＋∞）．（此法为配方法）④∵∴即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）⑤当x>0，∴，当x<0时，∴值域是[2，+).（此法为利用均值不等式法）函数的图像(如右图)2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.例3．求函数y＝的值域．解：解法一：（判别式法）由题设得（y＋1）x2＋y－1＝0若y＝－1，则－（1－x2）＝1＋x2－1＝1，矛盾∴y≠－1,∵x∈R，∴Δ＝02－4（y＋1）（y－1）≥0（y＋1）（y－1）≤0∴所求函数值域为（－1，1］．解法二：（运用函数的有界性）由题设得x2＝∵x2≥0,∴≥0，解得－1＜y≤1∴所求函数值域为（－1,1］．解法三：（分离常数法）由题设得y＝∵x2≥01＋x2≥10＜≤10＜≤2－1＜－1＋≤1∴所求函数值域为（－1，1］．说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设,则t0,x=1代入得∵t0∴y45．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如三角代换法、反函数法、以及运用函数的单调性，有界性等．有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.三、练习：求下列函数的值