量子力学曾谨言学习教案.ppt

会计学假设的本征值及本征函数较容易解出，或已有现成的解(不论如何得到的)，则可以在这个基础上，把微扰的影响逐级考
虑进去，以得出方程(1)的尽可能接近(jiējìn)于精确解的近似解。把（4）代入（1），得式(6b)、(6c)和(6d)两边左乘，并利用式(5)，可以(kěyǐ)得到相应(xiāngyīng)的零级能量本征函数用左乘，利用(lìyòng)本征态的正交归一性，得当m≠k时,得应当注意，这里是讨论非简并能级(néngjí)及相应波函数如何受到微扰的影响。把上式代入(7b)，得因此(yīncǐ)，在准确到二级近似下，能量本征值为：但在有些问题中，但在某些问题中,往往根据如何使计算简化来决定与的划分(huàfēn)，同时兼顾计算结果的可靠性。为归一化常数(chángshù)。相应的能量本征值为

即所有能级都下降(xiàjiàng)了，这对于能谱
形状(均匀分布)并无影响，但波函数将发生变
化，一级微扰近似波函数为

即平衡位置偏离(piānlí)了。正离子沿电场方向
挪了，而负离子则沿电场反方向挪动了。因此，由于外电场而产生的电偶极矩为
然后把每一个(yīɡè)根分别代入式(1),可求出相应的
解。对应于的解记为为表述方便(fāngbiàn)起见，进行编号，分别记为
即：是二重根，代入方程，得,但与不能唯一确定。这是由于简并未完全消除的缘故(yuángù),如下图所示。的本征方程表示为

此方程有非平庸(píngyōng)解的充要条件为

解之，可以得到的两个根

为方便(fāngbiàn)(见图10.5),令
(两能级的重心)

则

式中

是表征作用重要性的参量,当(即),则可视
为微扰(弱耦合)。反之(fǎnzhī)，如，
则为强耦合。为方便，令(图10.5)

若为实，则(斥力),或(引力)。

用根代入式本征方程(fāngchéng)，可以得出

类似(lèisì)可求出相应于的本征态讨论：
(a)设,即(弱耦合),,则
(见图10.6)

(66)
即下能级的主要成分(chéngfèn)为，上能级
的主要成分(chéngfèn)为。
(b)设(二重简并),(引力),即d=0,
,(强耦合极限),则(见图10.6)为与的同相叠加,引力作用使从
位置下降(xiàjiàng),而为与的反相
叠加(相差),从上升。设一束粒子以稳定的入射流密度（单位时间穿过单位截面的粒子数）入射，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有个粒子沿方向的立体角出射。
显然(xiǎnrán)，。令
即

的量纲是面积，故称为散射截面，
一般来说，它与有关。如把沿各方向出射的粒子都计算在内，即

称为总截面。
现在来讨论如何用经典力学来计算。通常假定(jiǎdìng)，入射粒子与靶子相互作用只依赖于它们的相对距离，记为。此时，入射粒子将做平面(píngmiàn)运动，散射角分布与方位角无关，只需要分析出射粒子随角的分布。
显然，偏转角依赖于。在方向立体角元中射出的粒子，是来自从定义的环面积元中入射的粒子。所以但按截面定义。由此可得出(déchū)

利用，也可表示成

如已知道或（通过求解中心场中粒子运动的Newton方程），
即可求出截面。二.散射的量子力学描述，散射波幅
为简单起见，假设在碰撞过程中入射粒子和靶粒子的内部态不改变（内部激发自由度冻结），即弹性散射。在此过程中，只有相对运动状态发生改变。设相互作用用定域势表示，是入射粒子与靶粒子的相对坐标。这样的两体问题总可以化为单体问题来处理。我们(wǒmen)还假定具有一定的力程，即只当时，相互作用才值得考虑。在散射实验中，有一个粒子源，它提供一束稳定的接近于单色的平行入射粒子束，从远处射向靶粒子（散射中心）。入射粒子波束可以近似用一个平面波来描述，即（为方便不妨取入射方向(fāngxiàng)为轴方向(fāngxiàng)）

，为入射粒子能量，是动量的本征态（，）。由于靶粒子的作用(zuòyòng)，入射粒子的动量并非守恒量，即有一定概率改变方向，或者说要产生散射波。设相互作用(zuòyòng)为一个中心势，则角动量为守恒量。可以论证，当时，散射波的形式为

即往外出射的球面波，的量纲为[长度]，称为散射波幅，是的函数，不依赖于角。概括起来说，在中心(zhōngxīn)势作用下，波函数在时的渐近行为是

第一项代表入射波，第二项代表出射的球面波，它描述由于靶粒子作用所出现的散射现象。在上述波函数的渐近形式下，入射粒子流密度为，而散射粒子流（径向）为

因此，在方向的立体角元中单位时间的出射粒子数为

按截面定义式(1)，有

这就是(jiùshì)散射截面（也称微分截面，或角分布）与散射波幅的关系。在理论上，散射波幅可以由求解Schrödinger