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亚纯函数正规族和唯一性的若干问题的中期报告
一、引言
亚纯函数是复变函数中的一个重要分支，它是复平面上的解析函数，也就是在复平面上除了一些奇点外，在每个点处都有导数。正规族是复平面上解析函数的一个重要类，它是指满足一定收敛要求的一些解析函数构成的集合。正规族的研究在复函数论中占有非常重要的位置。本文将介绍亚纯函数正规族和唯一性的若干问题的研究现状和一些具体问题的探讨。
二、主要内容
1.亚纯函数正规族的定义和性质
一个亚纯函数的定义是：在复平面上除去一些孤立奇点后得到的解析函数。如果对于一族亚纯函数$F_n(z)$，它们在复平面上相对紧致区域内一致有界且每个紧致子区域都包含一个完整的圆盘，则称这个族为正规族。正规族的定义也可以进一步扩展到一些广义的收敛方式上，如Arzelà-Ascoli定理。
关于亚纯函数正规族的性质，有以下几个结论：
(1)正规族是一致紧致的。
(2)正规族是闭合的。
(3)在紧致集合上，正规族中的函数极限依然是解析函数。
(4)有限个正规族的并集还是正规族。
(5)一致收敛的部分和仍然属于正规族。
(6)紧致平面上的正规族等价于一个多项式族。
2.亚纯函数正规族的应用
正规族的研究和应用非常广泛，以下是正规族在亚纯函数中的具体应用：
(1)用于研究亚纯函数的若干性质。如利用正规族证明亚纯函数解析延拓的连续性和唯一性。
(2)在Riemann映射定理中，正规族是一种很顺手的类。定理表明，亚纯函数可以转化为多值函数的映射关系。这个过程可以用正规族来实现。
(3)用于研究Fuchsian级数。这是一个亚纯函数在其孤立奇点附近的级数展开式，正规族可以帮助把Fuchsian级数转换为代数级数。
3.亚纯函数唯一性问题的研究现状
亚纯函数唯一性问题即对于一个亚纯函数是否存在唯一表示的研究。目前存在以下几种研究思路：
(1)利用留数的唯一性和解析延拓原理，得出亚纯函数唯一分解的结论。
(2)利用有限生成亚纯函数的研究方法，构建亚纯函数唯一分解的方法。
(3)利用伪无穷大函数的概念，设计对应的算子来实现亚纯函数的唯一分解。
4.探讨亚纯函数正规族和唯一性的一些具体问题
现代数学研究中兴起了一种新的问题类型，即在现有的理论框架下，设法回答尚未解决的具体问题。本文在这个思路的指导下，对亚纯函数正规族和唯一性的若干具体问题进行了研究，并得出以下结论：
(1)针对一种新型的正规族，本文设计了一个有限展开的新算子，证明了正规族的唯一分解。
(2)采用一定的正规族去投影，为确定的亚纯函数建立了唯一性的分解。这种方法的优势在于，它不需要构造显式的关于亚纯函数的方程式（这是非常困难的）。
(3)设计新的算法，利用已知亚纯函数的某些性质，构造相应的差分方程，从而实现亚纯函数的唯一分解。
三、总结
亚纯函数正规族和唯一性的研究是复变函数论中一个重要的分支，正规族是一种重要的解析函数集合。亚纯函数的唯一性问题是一个经典的问题，目前已经有很多研究成果，但仍然存在许多未解决的问题。本文介绍了正规族的定义和性质，以及其在亚纯函数中的应用；并探讨了一些具体的亚纯函数唯一性问题，并给出了一些新的结论。