排列组合二项式定理概率专题复习学生.docx

1．分类计数原理:
2.分步计数原理:
注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.⑴排列的定义：
⑵排列数:用符号表示.其中n，m∈，并且m≤n．
⑶排列数公式:
当m=n时，排列称为全排列，排列数为=记为n!,且规定O!=1.注：;
4.⑴组合的定义:
⑵组合数:用符号表示.
⑶组合数公式:.
规定，其中m，n∈N+，m≤n.
注:排列是“排成一排”，组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.
⑷组合数的两个性质:
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.
5．解排列、组合题的基本策略与方法
(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：
①直接法;②排除法;
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法
(Ⅱ)排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；
③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；
④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；
⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
⑩构造模型的策略.
6.二项式定理:
⑴对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.
注:展开式具有以下特点：
项数：共有项；系数：依次为组合数
且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.
⑵二项展开式的通项：的展开式第r+1为.
⑶二项式系数的性质.
①二项展开式中的叫做二项式系数
②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
即
③二项展开式的中间项二项式系数最大
且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的．
(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;
(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.
④系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:.
⑤
⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.
⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
二、概率统计

1.随机事件及其概率:
⑴必然事件:
⑵不可能事件:
⑶随机事件:
⑷随机事件的概率:
⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
2.等可能事件的概率:
⑴基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.
⑵等可能事件的概率:如果一次试验由个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概率为.
3.⑴互斥事件：
如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，
推广：.
⑵对立事件：
①对立事件的概率和等于1：.
②互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的