基本导数公式.doc

第三节基本函数公式与高阶导数
一、基本导数公式二、高阶导数

一、基本函数公式基本初等函数公式
(1)C'?0(C为常数);
(2)(x)'?ax
a
xx

a?1

;
xx

(3)(a)'?a?lna(a?0,a?1);(e)'?e
(4)(loga|x|)'?1xlna,(ln|x|)'?1x;

(5)(sinx)'?cosx;(6)(cosx)'??sinx;
(7)(tanx)'?secx;
2

(8)(cotx)'??cscx;
2

(9)(secx)'?secx?tanx;(10)(cscx)'??cscx?cotx;
(11)(arcsinx)'?11?x(12)(arccosx)'??
2

;1

;
2

1?x

(13)(arctanx)'?

11?x
2

;

(14)(arccotx)'??

11?x
2

.

基本求导法则(Ⅰ)线性法则:(au?bv)'?au'?bv',a,b为常数;(Ⅱ)积法则:(uv)'?uv'?uv';(Ⅲ)商法则:
()'?vuu'v?uv'v
2

,v?0;

(Ⅳ)链式法则:{f[u(x)]}'?f'[u(x)]u'(x);其中{f[u(x)]}'表示复合函数f[u(x)]对x求导,
f'[u(x)]?f'(u)|u?u(x)表示函数f(u)对u求导,然后代

入u=u(x).

(Ⅴ)反函数法则:f'(x)?

1

?'(y)

,?'(y)?0,其中y=f(x)

为x??(y)的反函数.

二、高阶导数话愕?如果函数y=f(x)的导函数f'(x)在点x处可导,则称导函数f'(x)在点x的导数为函数f(x)的二阶导数,记为
y''

或

dydx
2

2

或

f''(x)

或

df(x)dx
2

2

类似的,定义y=f(x)的二阶导数f''(x)的导数为三阶导数,记为
y'''

或

dydx
3

3

或

f'''(x)

或

df(x)dx
3

3

如果函数y=f(x)的n－1阶导数存在且可导,则
称y的n－1阶导数的导数为y=f(x)的n阶导数,记为
y
(n)nn

或

dydx
n

或

f

(n)

(x)

或

df(x)dx
n

n阶导数(n=1,2,…)在点x0处的值记为
y
(n)

|x?x

0

或

dydx
n

n

|x?x或f
0

(n)

(x0)或

df(x0)dx
n

n

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果
函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n阶导数.

例3.16设y=(asinx+bcosx)ex,其中a,b为常数.试证:
y''?2y'?2y?0

证因为
y'?(acosx?bsinx)e?(asinx?bcosx)e
xx

?[(a?b)sinx?(a?b)cosx]e

x

y''?[(a?b)cosx?(a?b)sinx]e?[(a?b)sinx
x

?(a?b)cosx]e

x

?2(acosx?bsinx)e

x

所以

y''?2y'?2y?2(acosx?bsinx)e

x

?2[(a?b)sinx?(a?b)cosx]e?2(asinx?bcosx)e
x

x

=2[acosx?bsinx?(a?b)sinx?(a?b)cosx?asinx?bcosx]e?0
x

例3.17求下列函数的n阶导数:(1)y=ax(a>0,a≠1);
(3)y=ln(1+x).解(1)y'?alna
x

(2)y=sinx;

y''?a(lna)
xx

2

y'''?a(lna)?lna?a(lna)
2x

3

一般地,有y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n,n=1,2,…特别地,a=e时,有(ex)(n)=ex,n=1,2,…

(2)y'?(sinx)'
?cosx?sin(x?π2)

y''?cos(x??sin(x?

π2π2

)?π2π2))

?sin(x?2?

一般地,有
y
(n)

?(sinx)

(n)

?sin(x?

n