一道习题的多种解法.doc

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一道习题的多种解法
□河南梁软红

同一数学问题，从多方位、多角度、多层次考查，就会有多种解题思路和方法，从而对知识的理解和掌握就会越来越深刻。下面以高中数学（人教版）第一册第7题为例，说明处理根的分布问题的多种解法，以期对同学们的学习有所启发。
题目：求二次函数有两个同号且不相等实根的充要条件。
解法1（运用求根公式）：
要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件是，或（其中）
解上述两个不等式组得。
故要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件是。
解法2（运用根与系数的关系）：
要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件是，即，解得。
故要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件是。
解法3（运用分类思想）：
若方程有两个不相等正实根，则有
若方程有两个不相等负实根，则有，但与矛盾，故不可能有两个不相等负实根。
故要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件为， 即，解得。
解法4（运用数形结合思想）：
设，则抛物线开口向上且对称轴为。由题意知图象与x轴两个交点均在原点同侧，如图所示。

于是有，即
解得
故要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件是。
解法5（运用补集思想）：
因方程有两根异号或一根为0或两根相等或无实根的充要条件是或，即或。解得或。
利用补集思想，要使方程有两个同号且不相等实根的充要条件是。

［练一练］
1.方程的两根均大于1，求实数a的取值范围。
2.若方程有一根在区间（1，3）内，求实数k的取值范围。
3.关于x的方程的两根，一根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围。

［答案］
1.（提示：由，又可解得）
2.（提示：利用数形结合由可解得）
3.或（提示：因，于是分和讨论。由题意时有；时有。从而可知，即，可求解）