一道竞赛试题的多种解法.doc

一道不等式竞赛题的多种解法唐作明（永州市教育科学研究院）不等式对于一切正数恒成立．则实数的最小值为．（第17届“希望杯”全国数学邀请赛）一、几种解法1．分离参数法．解：原不等式可化为：．令，则有．而，当且仅当时，取等号．则，故．所以，的最小值为2．2．三角换元法．解：令，则可设，其中．原不等式可化为：，即．令，（其中）．显然，．所以的最小值为2．3．基本不等式法．解：原不等式可化为：．因为，不等式可化为，即有令，则有．显然，只有当时，．所以，．解得，故的最小值为2．4．构造函数法．解：原不等式可化为：．，不等式可化为令，当时，要使恒成立．若，显然不合题意；若，则或（无解）．当时，解得．故的最小值为2．二、推广及证明推广：不等式对于一切正数恒成立．则实数．证法一：令，则可设，其中．原不等式可化为：，即．令（等号显然可以成立）．所以，．证法二：原不等式可化为．令，则，当，且时，即时，．所以，．三、两道变式题的解法１．设，满足，求．（浙江省高中数学夏令营）解：由于，所以，．同理可得．故．于是，，即．2．已知，若恒成立，则的取值范围是．解法一：构造，使．则．原不等式可化为．即．而（当且仅当时，取等号）．故．解法二：令，则有而（当且仅当时，即取等号）．．注：本文发表在《数学竞赛之窗》。