第5节 椭圆 文(含解析)-人教版高三全册数学试题.pdf

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2010~2014年高考真题备选题库

第8章平面解析几何

第5节椭圆

x2y2
1.(2014某某，5分)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的
94

焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.

解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F，F的对称点分别为A，
12
11
B，故有|GF|＝|AN|，|GF|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|＋|GF|)＝4a＝12.
122212

答案：12.

2．(2014某某，5分)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋

1)2＝4截得的弦长为________．

|2－2－3|3
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x
55

9255
＋2y－3＝0被圆截得的弦长为24－＝.
55

255
答案：
5

3.(2014某某，12分)

圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小

时，切点为P(如图)．

(1)求点P的坐标；

(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋3交于A，B两点．若△PAB的

面积为2，求C的标准方程．

xx
解：(1)设切点坐标为(x，y)(x>0，y>0)，则切线斜率为－0，切线方程为y－y＝－0
0000y0y
00
144
(x－x)，即xx＋yy＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··
0002xy
00

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8
＝xy.
00

由x2＋y2＝4≥2xy知当且仅当x＝y＝2时xy有最大值，即S有最小值，因此点P
00000000
的坐标为(2，2)．

x2y2
(2)设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
a2b2

点A(x，y)，B(x，y)．
1122

x2y2
＋＝1，
22a2b2
由点P在C上知＋＝1，并由得b2x2＋43x＋6－2b2＝0，
a2b2
y＝x＋3，

43
x＋x＝－，
12b2
又x，x是方程的根，因此
12
6－2b2
xx＝.
12b2

由y＝x＋3，y＝x＋3，
1122

48－24b2＋8b4
得|AB|＝2|x－x|＝2·.
12b2

313
由点P到直线l的距离为及S＝××|AB|＝2得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6
2△PAB22

或3，因此b2＝6，a2＝3(舍)或b2＝3，a2＝6.

x2y2
从而所求C的方程为＋＝1.
63

x2y2
4.(2014某某，5分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F，F，过F作x轴
a2b2122

的垂线与C相交于A，B两点，FB与y轴交于点D，若AD⊥FB，则椭圆C的离心率等于
11

________．

解析：由题意知F(－c,0)，F(c,0)，其中c＝a2－b2，因为过F且与x轴垂直的直线
122

b2b2
xcAc，Bc，－ABy
为＝，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为a，a.因为平行于轴，

b2
且|FO|＝|OF|，所以|FD|＝|DB|，即D为线段FB的中点，所以点D的坐标为0，－，
12112a

b2b2b2
－－－－0
a2aa
又AD⊥FB，所以k·kFB＝－1，即×＝－1，整理得3b2＝2ac，所
1AD1c－0c－－c

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c3
以3(a2－c2)＝2ac，又e＝，0<e<1，所以3e2＋2e－3＝0，解得e＝(e＝－3舍去)．
a3

3
答案：
3

1
5（2013某某，5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C
2

的方程是()

x2y2x2y2
A.＋＝1B.＋＝1
3443

x2y2x2y2
C.＋＝1D.＋＝1
4243

解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，

x2y2
意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
a2b2

c＝1，
c1
＝，a2b2
所以a解得＝4，＝3.
2
c2＝a2－b2，

答案：D

6（2013某某，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x

2
轴上，短轴长为2，离心率为.
2

(1)求椭圆C的方程；

6
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE
4

交椭圆C于点P.设OP＝tOE，某某数t的值．

解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知