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立体几何证明与计算
1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:

①AA1⊥MN②异面直线AB1,BC1所成的角为60°
③四面体B1-D1CA的体积为
④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为 （）
A．4B]3 C．2 D．1
2已知的二面角,点A,,C为垂足,,BD,D为垂足,若AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________

3将,边长为的菱形沿对角线折成大小等于的二面角,则下列说法中正确的有__________(填上所有正确的答案).
①;②当时,;
③若平面BAD⊥平面BCD,则BC⊥DC,BA⊥DA;
④当时,四面体B-ACD外接球的体积为.

4如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.

.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E

图1
图2

O
B
E

H

5、图5

5（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，分别是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

6．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
A
B
C
第1题图
A
B
C
D
第1题图

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

7在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

8如图，
在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2).
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

9如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．
(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；
(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD；
(3)求二面角E－B1C－D的余弦值．

10如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A—PD—C的正弦值．

12如图，在三棱锥A-BOC中，底面BOC,,AB=AC=4,,动点D在线段AB上.
(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB；
(Ⅱ)当点D运动到线段AB的中点时,求二面角D-CO-B的大小；
(Ⅲ)当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积.

立体几何大题
1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:

①AA1⊥MN②异面直线AB1,BC1所成的角为60°
③四面体B1-D1CA的体积为
④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为 （）
A．4B]3 C．2 D．1
【答案】A
2已知的二面角,点A,,C为垂足,,BD,D为垂足,若AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________
【答案】
3将,边长为的菱形沿对角线折成大小等于的二面角,则下列说法中正确的有__________(填上所有正确的答案).
①;②当时,;
③若平面BAD⊥平面BCD,则BC⊥DC,BA⊥DA;
④当时,四面体B-ACD外接球的体积为.
【答案】①③④
4如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.

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C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E

图1
图2
C
D
O
B
E

H

4、(Ⅰ)在图1中,易得

连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,
所以,所以,
理可证,又,所