空间立体几何的证明与计算.docx

空间立体几何的证明与运算1．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点。（1）求证：；（2）求证：；2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．3．三棱柱，底面，为正三角形，且为中点．ABCA1B1C1D（1）求证：平面⊥平面（2）若AA1=AB=2，求点A到面BC1D的距离．4．斜三棱柱中，侧面底面ABC，侧面是菱形，，，，E、F分别是，AB的中点．（1）求证：EF∥平面；（2）求证：CE⊥面ABC．（3）求四棱锥的体积．5．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点．（1）求证：平面∥平面；（2）求CB1与平面所成角的正弦值．6．（本小题满分14分）如图，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，且平面，.（1）证明：平面；（2）证明：.7．如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，、分别为、的中点．EPACDBF（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．8．如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若平面BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D的位置，并求二面角的大小．9．如图，在四面体中，平面平面，90°．，，分别为棱，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．10．如图所示，在三棱锥中，，平面⊥平面，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．11．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案1．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）与的交点为，连结，利用三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用勾股定理证明底面三角形为直角三角形，得到，再利用直三棱柱得到，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而证明线线垂直．解题思路:证明空间中的线线、线面平行或垂直时，要注意利用平面几何中的平行或垂直关系，即立体问题平面化．试题解析：（1）设与的交点为，连结，∵是的中点，是的中点，∴，∵，，∴6分（2）在直三棱柱，∵底面三边长，，，∴，8分又直三棱柱中，且10分∴12分而∴；13分考点：1．线面平行的判定定理；2．线面垂直的判定定理与性质．2．（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）中首先利用三角形中位线得到，进而由，利用两线平行推出线面平行的判定定理得到平面（2）中由等腰得到，利用平面得到，所以平面，试题解析：（1）∵、分别为、的中点，∴，2分又∵，∴．4分又∵平面，平面，∴平面6分（2）∵为等腰底边上的中线，∴．∵平面，平面，∴．又∵，且，∴平面．又平面，∴．10分∵，，且，∴平面．又平面，∴。13分考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定与性质3．（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）证明两平面互相垂直，一般方法是在其中一个平面中找到一条垂直于另一条平面线段，这样就能将面与面垂直转化成求线与面的垂直；（2）求点到平面的距离，需要过此点做一条垂直于平面的线段，这条线段即为点到平面的距离，此题重要的是找到这条线段，而从点向作一条垂直于的线段正好为此点到平面的高线。试题解析：（1）因为为正三角形且为中点，所以；又因为底面且平面，所以，所以根据定理知道平面；又因为过平面，所以得到平面⊥平面。（2）从点向作一条垂直于的线段交于E，因为，又因为在第一问中证得平面，所以，平面；所以点A到面BC1D的距离即为的长度。又因为AA1=AB=2，且为正三角形，所以得到、，那么由相似于，所以，解得。考点：1．线与面垂直的判定；2．相似三角形和勾股定理4．（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理，线线平行，线面平行，做辅助线，取BC中点M，连结FM，，根据平行的传递性，可证四边形为平行四边形，,（2）两平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，根据这一定理，连,易证CE⊥，∥．，根据定理得证；（3）连接，∵四边形是平行四边形，所以四棱锥，利用CE⊥面ABC，=．试题解析：（1）证明：取BC中点M，连结FM，．在△ABC中，∵F，M分别为BA，BC的中点，∴FMAC．∵E为的中点，AC∴FM．∴四边形为平行四边形∴．∵平面，平面，∴EF∥平面．4分；（2）证明：连接，∵四边形是菱形，∴△为等边三角形∵E是的中点．∴CE⊥∵四边形是菱形,∴∥．∴CE⊥．∵侧面⊥底面ABC,且交线为AC，面∴CE⊥面ABC8分；（3）连接，∵四边形是平行四边形，所以四棱锥由第（2）小问的证明过程可知面ABC∵斜三棱