立体几何证明.docx

1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，面ABCD，E是PC的中点．求证:（1）平面BDE；（2）平面平面BDE．1．解：（1）连接是正方形的中心为中点，又为中点.........................2分平面，平面.........................4分平面.........................5分是正方形的中心.........................7分平面，平面.........................9分平面，平面.......................10分平面平面平面.........................12分2.如图，在三棱锥P­ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，且CP⊥PB，求证：CP⊥PA；(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.3、证明：(1)因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA.(2)在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D(图略)．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC，所以l∥PD.又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC.3．如图，已知四棱锥S­ABCD，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2CD＝2eq\r(5)，M是SD上任意一点，SM＝mMD，且m>0.(1)求证：平面SAB⊥平面MAC；(2)试确定m的值，使三棱锥S­ABC的体积为三棱锥S­MAC体积的3倍．解：(1)证明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4，BC＝2eq\r(5)，∴AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC⊂平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC.(2)由(1)知，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△ACD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5－22)＝2，VS­MAC＝VM­SAC＝eq\f(m,m＋1)VD­SAC＝eq\f(m,m＋1)VS­ACD，∴eq\f(VS­ABC,VS­MAC)＝eq\f(m＋1,m)·eq\f(VS­ABC,VS­ACD)＝eq\f(m＋1,m)·eq\f(S△ABC,S△ACD)＝eq\f(m＋1,m)·2＝3，∴m＝2，即当m＝2时，三棱锥S­ABC的体积为三棱锥S­MAC体积的3倍．4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA=AB=BC=4,∠ABC=90°,PC=4,D为线段AC的中点,E是线段PC上一动点.(1)当DE⊥AC时,求证:PA∥平面DEB.(2)当△BDE的面积最小时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)在Rt△ABC中,AC=4,在△PAC中,由PA2+AC2=PC2知PA⊥AC,所以PA∥ED,又PA⊄平面EDB,ED⊂平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)在等腰直角△ABC中,由D为AC中点知,DB⊥AC,又由PA⊥AC,PA⊥AB,AB∩AC=A,知PA⊥平面ABC,因为DB⊂平面ABC,所以PA⊥DB,又DB⊥AC,PA∩AC=A知DB⊥平面PAC,因为DE⊂平面PAC,所以DE⊥DB,即△EBD为直角三角形,所以DE最小时,△BDE的面积最小,过点D作PC的垂线,当E为垂足时,DE最小为,求得EC=,所以VE-BCD=×S△BDE·EC=.5.如图，在四棱锥E­ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD＝3AB.(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出eq\f(EF,ED)的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE.又AE⊥DE，CD∩DE＝D，所以AE⊥平面CDE，因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且eq\f(EF,ED)＝eq\f(1,3)，使AF∥平面BCE.设F为线段DE上一点，且eq\f(EF,ED)＝eq\f(1,3).过点F作FM∥CD交CE于点M，连接BM，AF，则FM＝eq\f(1,3)CD，如图所示．因为CD