微分方程数值解.ppt

第三章椭圆型方程的差分格式§3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟网格节点（l，m）
处的二阶中心差商代替
二阶微商Laplace方程的五点差分格式(3.6)为

截断误差为O(h2)。令

则Laplac方程的五点差分格式为（3.8）

即例1用五点差分格式求解Laplace方程

在区域
内的近似解，边界值为：

取。解网格点如图所示
矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得

U=[U1U2U3U4U5U6U7U8U9]’=A-1K
=[55.714343.214327.142979.642970.0000
45.3571112.8571111.785784.2857]T加密网格，取h=0.5定义向量

为从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函
数值，则正方形区域Ω中的内部节点上的(M-1)2
个线性方程

写为矩阵方程AU=K,其中K由边界条件确定.

§3.2Neumann边值问题的差分模拟讨论左边界x=0上的导数边值条件的差分模拟

又由点（0，m）的五点差分格式

消去U-1,m，得边界x=0上(3.14)

边界x=1上(3.15)

边界y=0上(3.16)

边界y=1上(3.17)边界x=0在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向
导数

用一阶中心差商代替微商

在顶点（0，0）,五点差分格式为

故
在四个顶点

（0，0）

（0，M）

（M，0）

（M，M）例1在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的
Nenmann问题

解网格节点如图所示
矩阵方程为令

则矩阵方程为
§3.3混合（Robins）边值条件例1用五点差分格式求解Laplace方程

在区域
内的近似解，边界值为：

取。解网格节点如图所示
解矩阵方程AU=K
U=[71.821856.854332.2342…
75.216561.680636.0412…
87.363678.610350.2502…
115.6276115.146886.3492]T作业:
1、P.115例3.1取h=1/3，利用五点
差分格式写出求解节点上的Ul,m值的线
性方程组及矩阵方程。
2、P.159习题三2